Question

已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图所示）．那么，在上述旋转过程中：
（1）线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？证明你发现的结论；
（2）连接HK，设BH=x．
①当△CHK的面积为时，求出x的值．
②试问△OHK的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在旋转过程中，BH=CK，四边形CHOK的面积始终保持不变，其值为△ABC面积的一半．
理由如下：
连接OC
∵△ABC为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，CO⊥AB
∴∠OCK=∠B=45°，CO=OB，又∵∠COK与∠BOH均为旋转角，
∴∠COK=∠BOH=α
∴△COK≌△BOH
∴BH=CK，S_{四边形CHOK}=S_△COK+S_△COH=S_△BOH+S_△COH=S_△COB=S_△ABC=4．

（2）①由（1）知CK=BH=x，
∵BC=4，
∴CH=4-x，根据题意，得CH•CK=，即（4-x）x=3，
解这个方程得x₁=1，x₂=3，
此两根满足条件：0＜x＜4
所以当△CKH的面积为时，x的取值是1或3；
②设△OKH的面积为S，由（1）知四边形CHOK的面积为4，于是得关系式：
S=4-S_△CKH=4-x（4-x）=（x²-4x）+4
=（x-2）²+2
当x=2时，函数S有最小值2，
∵x=2时，满足条件0＜x＜4，
∴△OKH的面积存在最小值，此时x的值是2．
分析：（1）连接OC，可以证得：△COK≌△BOH，根据S_{四边形CHOK}=S_△COK+S_△COH=S_△BOH+S_△COH=S_△COB=S_△ABC即可证得：四边形CHOK的面积始终保持不变；
（2）①BC=4，CH=4-x，三角形的面积公式可以得到：CH•CK=，即（4-x）x=3，从而求得x的值；
②设△OKH的面积为S，根据三角形的面积公式，即可得到关于x的函数关系式，然后根据函数的性质即可求解．
点评：本题考查了三角形全等的判定与性质，以及二次函数的性质，正确列出函数解析式是解题的关键．