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    14．阅读下面材料，小明遇到这样一个问题：
    如图1，等边三角形ABC，高AD，点E在AC上满足AE=$\frac{1}{2}$CE，BE与AD相交于点F，在图1中是否存在与DF相等的线段？若存在，请证明．小明通过探究发现，延长AD至G，使AD=DG，连接BG，得到一对全等三角形和一对相似三角形，从而解决问题．请回答：

    （1）与DF相等的线段是AF；
    （2）证明小明发现的结论；
    （3）参考小明的发现，解决下面问题：
    如图2，△ABC中，AE=mEC，BD=nDC，求$\frac{DF}{AF}$的值．

    分析 （1）直接写成DF=AF；
    （2）先判断出△ADC≌△GDB，得出BG=AC，再判断出△AEF∽△GBF得出比例式化简即可得出结论；
    （3）类似于（2）方法，过点B作BG∥AC，得出△ACD∽△GBD即可得出BG=nAC，DG=nAD，进而得出FG=nAF+（n+1）DF，再用△BFG∽△EFA，得出比例式，最后代换即可得出结论．

    解答 解：（1）故答案为：AF；

    （2）如图1，延长AD至G，使AD=DG，连接BG，
    ∵AD是等边三角形ABC的边BC上的高，
    ∴BD=CD，
    在△ADC和△GDB中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DG}\\{∠ADC=∠GDB}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
    ∴△ADC≌△GDB，
    ∴BG=AC，
    ∠CAD=∠BGD，
    ∴AC∥BG，
    ∴△AEF∽△GBF，
    ∴$\frac{AE}{BG}=\frac{AF}{GF}$，
    ∵AE=$\frac{1}{2}$EC，
    ∴BG=AC=3AE，
    ∴$\frac{AE}{3AE}=\frac{AF}{GF}$，
    ∵FG=AG-AF=2AD-AF=2（AF+DF）-AF=AF+2DF，
    ∴$\frac{AF}{AF+2DF}=\frac{1}{3}$，
    ∴$\frac{AF}{2DF}=\frac{1}{2}$，
    ∴DF=AF；

    （3）如图（2），
    过点B作BG∥AC交AD的延长线于G，
    ∴△ACD∽△GBD，
    ∴$\frac{AC}{BG}=\frac{AD}{DG}=\frac{CD}{BD}$，
    ∵BD=nDC，
    ∴BG=nAC，DG=nAD=n（AF+DF），
    ∵AE=mEC，
    ∴AC=AE+EC=（m+1）EC，
    ∴FG=DG+DF=n（AF+DF）+DF=nAF+（n+1）DF，
    ∵BG∥AC，
    ∴△BFG∽△EFA，
    ∴$\frac{FG}{AF}=\frac{BG}{AE}$=$\frac{nAC}{AE}$=$\frac{n（m+1）EC}{mEC}$=$\frac{n（m+1）}{m}$，
    ∴$\frac{nAF+（n+1）DF}{AF}=\frac{n（m+1）}{m}$，
    ∴n+$\frac{（n+1）DF}{AF}=\frac{n（m+1）}{m}$，
    ∴$\frac{（n+1）DF}{AF}=\frac{n}{m}$，
    ∴$\frac{DF}{AF}=\frac{n}{m（n+1）}$．

    点评 此题是相似三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是作出辅助线，构造出相似三角形，是一道很好的中考常考题．

    练习册系列答案
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    4．计算：（-3）2÷（-3）×$\frac{1}{3}$=-1．

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    5．已知在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BD上一动点（不与点B，D重合），连接AE，以AE为边在AE的右侧作菱形AEFG，且∠AEF=60°．
    （1）如图1，若点F落在线段BD上，请判断：线段EF与线段DF的数量关系是EF=DF
    （2）如图2，若点F不在线段BD上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；
    （3）若点C，E，G三点在同一直线上，其它条件不变，请直接写出线段BE与线段BD的数量关系．

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    2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在Rt△ABC内部作正方形D1E1F1G1，其中点D1，E1分别在AC，BC边上，边F1G1在BC上，它的面积记作S1；按同样的方法在△CD1E1内部作正方形D2E2F2G2，它的面积记作S2，S2=$\frac{8}{{3}^{4}}$，…，照此规律作下去，正方形DnEnFnGn的面积Sn=$\frac{8}{{3}^{2n}}$．

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    9．若a=1+$\sqrt{2}$，b=1-$\sqrt{2}$，则a与b的关系是（　　）
    A．互为倒数B．互为相反数C．相等D．互为负倒数

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    19．如图，在△ABC中，AB=AC．
    （1）尺规作图：作AB的垂直平分线，交AC于点M，（不写作法，保留作图痕迹）；
    （2）若∠A=40°，求∠CMB的度数．

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    6．江门市统计局与国家统计局江门调查队联合发布2015年江门市国民经济和社会发展统计公报．公报显示，经初步核算，2015年江门全市实现地区生产总值（GDP）2420亿元，而2013年生产总值（GDP）为2000亿元，如果2014、2015年江门市GDP逐年增加，求这两年我市GDP的年平均增长率．

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    3．（Ⅰ）（1）问题引入
    如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠α（用α表示）；
    （2）拓展研究
    如图②，∠CBO=$\frac{1}{3}$∠ABC，∠BCO=$\frac{1}{3}$∠ACB，∠A=α，试求∠BOC的度数120°+$\frac{1}{3}$∠α（用α表示）
    （3）归纳猜想
    若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=$\frac{1}{n}$∠ABC，∠BCO=$\frac{1}{n}$∠ACB，∠A=α，则∠BOC=$\frac{{（n-1）•{{180}°}+∠α}}{n}$（用α表示）．
    （Ⅱ）类比探索
    （1）特例思考
    如图③，∠CBO=$\frac{1}{3}$∠DBC，∠BCO=$\frac{1}{3}$∠ECB，∠A=α，求∠BOC的度数（用α表示）．
    （2）一般猜想
    若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=$\frac{1}{n}$∠DBC，∠BCO=$\frac{1}{n}$∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC=$\frac{{（n-1）•{{180}°}-∠α}}{n}$（用α表示）．

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    4．如图，把一个矩形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为110°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（　　）
    A．70°或20°B．55°或45°C．55°或35°D．55°或65°

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