Question

4．直线y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$与x轴，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，将△OMN沿直线MN翻折后得到△PMN，则点P的坐标为（-3，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 连接OP交MN于点E，过点P作PF⊥x轴于点F．根据直线MN的解析式可求出点M、N的坐标，利用三角形的面积公式可求出PE的长度，依据翻折的性质可以求出线段OP的长度，利用正弦的定义通过角的计算可求出∠MOE的度数，再利用正弦余弦的定义即可求出线段OF、PF的长度，由此即可得出点P的坐标．

解答 解：连接OP交MN于点E，过点P作PF⊥x轴于点F，如图所示．

∵直线MN的解析式为y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∴点M的坐标为（-2，0），点N的坐标为（0，2$\sqrt{3}$），
∴MN=$\sqrt{O{M}^{2}+O{N}^{2}}$=4，
∴sin∠ONM=$\frac{OM}{MN}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，∠ONM=30°．
∵MN•OE=OM•ON，
∴OE=$\frac{OM•ON}{MN}$=$\frac{2×2\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$．
∵△OMN沿直线MN翻折后得到△PMN，
∴OP=2OE=2$\sqrt{3}$．
∵∠OMN+∠ONM=90°，∠OME+∠MOE=90°，
∴∠MOE=30°，
∴PF=OP•sin∠FOP=$\sqrt{3}$，OF=OP•cos∠FOP=3，
∴点P的坐标为（-3，$\sqrt{3}$）．
故答案为（-3，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及翻折变换，解题的关键是求出线段OF、PF的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过解直角三角形，利用正余弦的定义求出线段的长度是关键．