Question

如图，将正方形纸片的两角分别折叠，使顶点A落在A′处，顶点D落在D′处，BC、BE为折痕，点B、A′、D′在同一条直线上。

（1）猜想折痕BC和BE的位置关系，并说明理由；
（2）写出图中∠D′BE的余角与补角；
（3）延长D′B、CA相交于点F，若∠EBD=330，求∠ABF和∠CBA的度数。

Answer 1

（1）BC⊥BE，理由略（3分）
（2）余角∠CBA′，∠CBA，∠BED，∠BED′，补角∠ABE（5分）
（3）∠ABF=660，∠CBA=570（4分）

解析（1）由于△A′CB与△ACB关于BC对称，即△A′CB≌△ACB，那么∠A′BC=∠ABC，同理∠D′BE=∠DBE，
而∠A′BC+∠ABC+∠D′BE+∠DBE=180°，从而易求∠A′BC+∠D′BE=90°，即可证BC⊥BE；
（2）由（1）知△A′CB≌△ACB，那么∠BA′C=∠A=90°，即∠A′CB+∠CBA′=90°，而∠A′BC+∠D′BE=90°，利用等角的余角相等可知∠CBA′=∠D′BE，即知∠ACB=∠A′CB=∠D′BE=∠DBE，也就易求∠D′BE的余角、补角；
（3）由∠EBD=33°，知∠D′BD=66°，利用对顶角相等可知∠ABF=66°，从而易求∠A′BA，也就可求∠CBA．

解：（1）BC⊥BE；
∵△A′CB与△ACB关于BC对称，
∴△A′CB≌△ACB，
∴∠A′BC=∠ABC，
同理有∠D′BE=∠DBE，
又∵∠A′BC+∠ABC+∠D′BE+∠DBE=180°，
∴∠A′BC+∠D′BE=90°，
∴BC⊥BE；
（2）由（1）知△A′CB≌△ACB，
∴∠BA′C=∠A=90°，
∴∠A′CB+∠CBA′=90°，
又∵∠A′BC+∠D′BE=90°，
∴∠CBA′=∠D′BE，
同理∠ACB=∠A′CB=∠D′BE=∠DBE，
∴∠D′BE的余角是∠CBA′，∠CBA，∠BED，∠BED′，补角是∠ABE；
（3）∵∠EBD=33°，
∴∠D′BD=66°，
∴∠ABF=66°，
∴∠A′BA=180°-66°=114°，
∴∠CBA=1/2×114°=57°