Question

8．如图，反比例函数的图象经过点A（-2，5）和点B（-5，p），?ABCD的顶点C、D分别在y轴的负半轴、x轴的正半轴上，二次函数的图象经过点A、C、D．二次函数的解析式为y=x²-2x-3，若点E在对称轴右侧的二次函数图象上，且∠DCE＞∠BDA，则点E的横坐标m的取值范围为1≤m＜$\frac{9}{4}$或m＞6．

Answer 1

分析 利用反比例函数图象上点的坐标性质求出反比例函数解析式，再利用平行四边形的性质得出C，D点坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；根据题意得出要使∠DCE＞∠BDA，即∠DCE+∠BDO=45°，再利用当E在x轴下方，EC∥DG时满足条件；E′在x轴上方，且∠BDO=∠OCE′时，分别得出符合题意的答案即可．

解答 解：设反比例函数的解析式为$\frac{k}{x}$．
∵它图象经过点A（-2，5）和点B（-5，p），
∴5=$\frac{k}{-2}$，
∴k=-10，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{10}{x}$．
∴p=-$\frac{10}{-5}$=2，
∴点B的坐标为（-5，2），
由?ABCD中，AB∥CD，设CD的表达式为y=x+c，
∴C（0，c），D（-c，0），
∵CD=AB，
∴CD²=AB²，
∴c²+c²=（-5+2）²+（2-5）²，
∴c=-3，
∴点C、D的坐标分别是（0，-3）、（3，0）；
设二次函数的解析式为y=ax²+bx-3，二次函数的图象经过点A、D．
则$\left\{\begin{array}{l}{5=4a-2b-3}\\{0=9a+3b-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为：y=x²-2x-3；
∵∠BDO+∠BDA=45°，
∴∠BDA=45°-∠BDO，
要使∠DCE＞∠BDA，即∠DCE+∠BDO≥45°，
作H关于x轴的对称点G，则G点坐标为：（0，-$\frac{3}{4}$），
故∠HDO=∠ODG，
当CE∥DG时，∠DCE=∠GDO，
此时∠ODG+∠DCE=45°，
即∠BDO+∠DCE=45°，
故E在x轴下方，EC∥DG时满足条件；
设直线DG的解析式为：y=ex+d，
则$\left\{\begin{array}{l}{d=-\frac{3}{4}}\\{3e+d=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{1}{4}}\\{d=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
故直线DG的解析式为；y=$\frac{1}{4}$x-$\frac{3}{4}$，
则EC的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{9}{4}}\\{{y}_{2}=-\frac{39}{16}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
故E点坐标为：（$\frac{9}{4}$，-$\frac{39}{16}$），
故m的取值范围是：1≤m＜$\frac{9}{4}$；
当∠OCM=∠BDO时，∠DCE′+∠BDO=45°，
E′在x轴上方，且∠BDO=∠OCE′，
即tan∠BDO=tan∠OCE′，
则$\frac{ON}{3}$=$\frac{\frac{3}{4}}{3}$，
解得：NO=$\frac{3}{4}$，
设直线CN的解析式为：y=tx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{n=-3}\\{\frac{3}{4}t+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=-3}\\{t=4}\end{array}\right.$，
故直线CE的解析式为：y=4x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=6}\\{{y}_{1}=21}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
则E点坐标为：（6，21），
故m的取值范围是：m＞6，
综上所述：1≤m＜$\frac{9}{4}$或m＞6．
故答案为：y=x²-2x-3；1≤m＜$\frac{9}{4}$或m＞6．

点评 此题主要考查了反比例函数综合应用以及二次函数综合以及一次函数与反比例函数交点求法等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．