Question

【题目】已知：如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（6，0）、B（6，4），D是BC的中点．动点P从O点出发，以每秒1个单位的速度，沿着OA、AB、BD运动．设P点运动的时间为t秒（0<t<13）．

（1）写出△POD的面积S与t之间的函数关系式，并求出△POD的面积等于9时点P的坐标；

（2）当点P在OA上运动时，连结CP．问：是否存在某一时刻t，当CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点M处？若存在，请求出t的值并判断此时△CPM的形状；若不存在，请说明理由；

（3）当点P在AB上运动时，试探索当PO+PD的长最短时的直线PD的表达式。

Answer 1

【答案】（1）（4．5，0）（2，4）（2）存在（3）y=-

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的性质得OA=BC=6，CD=BD=3，AB=4，然后分三种情况求解：当0＜t≤6，如图1，OP=t，根据三角形面积公式得S=2t，再求出S=9所对应的t的值，然后写出此时P点坐标；当6＜t≤10，如图2，则AP=t-6，BP=10-t，利用S=S矩形ABCD-S△OCD-S△OAP-S△BPD得到S=-t+21，再求出S=9所对应的t的值，然后写出此时P点坐标；当10＜t＜13，如图3，则PB=13-t，根据三角形的面积公式得S=-2t+26，由于S=9时，计算出t=7．5，而7．5不合题意故舍去；

（2）如图4，E点为AB的中点，根据旋转的性质得PC=PE，在Rt△POC中，利用勾股定理得PC2=t2+42；在Rt△PAE中，利用勾股定理得到PE2=（6-t）2+22，则t2+42=（6-t）2+22，解方程得t=2．

（3）根据对称性找到P点的对称点P1，找到D点，然后求出D点的坐标，再根据待定系数法求出解析式．

试题解析：（1）∵矩形OABC的顶点A（6，0）、B（6，4），D是BC的中点，

∴OA=BC=6，CD=BD=3，AB=4，

当点P在OA上运动时，即0＜t≤6，如图1，OP=t，S=t4=2t；

∵S=9，

∴2t=9，解得t=4．5，

∴此时P点坐标为（4．5，0）；

当点P在AB上运动时，即6＜t≤10，如图2，AP=t-6，BP=10-t，S=S矩形ABCD-S△OCD-S△OAP-S△BPD

=4×6-4×3-6（t-6）-3（10-t）

=-t+21；

∵S=9，

∴-t+21=9，解得t=8，

∴此时P点坐标为（2，4）；

当点P在BD上运动时，即10＜t＜13，如图3，PB=13-t，S=（13-t）4=-2t+26；

∵S=9，

∴-2t+26=9，解得t=7．5（不合题意舍去）；

（2）存在．

如图4，E点为AB的中点，

∵CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点，

∴PC=PE，

在Rt△POC中，OC=4，OP=t，

∴PC2=OP2+OC2=t2+42，

在Rt△PAE中，AE=2，PA=6-t，

∴PE2=PA2+AE2=（6-t）2+22，

∴t2+42=（6-t）2+22，解得t=2，

即当t=2s时，当CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点处．

（3）y=-