Question

观察下列图形，回答问题：
问题（1）：若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为

24

．
问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是

S₁+S₂=S₃

（用图中字母表示）
问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和；
（2）分别表示出S₁、S₂、S₃，结合勾股定理即可得出关系式．
（3）根据半圆的面积公式以及勾股定理就可发现：两个小半圆的面积和等于大半圆的面积，从而得出阴影部分的面积=直角三角形的面积．

解答：解：（1）由题意得，P=DE²=9，Q=EF²=15，
故可得M=DF²=DE²+EF²=24．
（2）S₁=

π

8

AC²，S₂=

π

8

BC²，S₃=

π

8

AB²，
∵AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃．
（3）设直角三角形的边从小到大分别是a，b，c，则a²+b²=c²，两边同除以

π

8

，
即得：两小半圆的面积和等于大半圆的面积，
从而可得S_{阴影部分的面积}=S_{直角三角形的面积}=

1

2

×3×4=6．

点评：本题考查了勾股定理及圆的面积公式，解答此类题目关键是仔细观察所给图形的特点，不要盲目作答．