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    已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（-1，0）．
    （1）求点C的坐标；
    （2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
    （3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；
    （4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时的点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）Rt△ABC中，AO⊥BC，且知道了OA、OB的长，由射影定理能求出OC的长，也就得到了点C的坐标．
    （2）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式，由x=-能求出抛物线的对称轴．
    （3）首先求出直线AC的解析式，过点P作x轴的垂线，交直线AC于Q，在知道抛物线和直线AC解析式的情况下，用m表示出点P、Q的坐标，两点纵坐标差的绝对值即为线段PQ的长，而S=AC•PQ，据此求得关于S、m的函数关系式，根据函数的性质即可确定S最大时点P的坐标．
    （4）首先设出点M的坐标，然后列出△MPC的三边长，若该三角形是等腰三角形，根据①MP=MC、②MP=PC、③MC=PC列出等式求解即可．
    解答：解：（1）在Rt△ABC中，AO⊥BC，OA=2，OB=1，
    则：OC==4，
    ∴C（4，0）．

    （2）设抛物线的解析式：y=a（x+1）（x-4），代入点A的坐标，得：
    a（0+1）（0-4）=2，a=-
    ∴抛物线的解析式：y=-（x+1）（x-4）=-x2+x+2，对称轴 x=．

    （3）设直线AC的解析式为：y=kx+2，代入点C（4，0），得：
    4k+2=0，k=-
    ∴直线AC：y=-x+2；
    过点P作PQ⊥x轴于H，交直线AC于Q，设P（m，-m2+m+2）、
    ∴S梯形AOHP=[2+（-m2+m+2）]m=-m3+m2+2m，
    S△PHC=（4-m）（-m2+m+2）=m3-m2+2m+4，
    S△AOC=×4×2=4，
    S=S梯形AOHP+S△PHC-S△AOC=-m2+4m=-（m-2）2+4，
    ∴当m=2，即 P（2，3）时，S的值最大．

    （4）依题意，设M（，b），已知P（2，3）、C（4，0），则有：
    MP2=b2-6b+、MC2=b2+、PC2=13；
    当MP=MC时，b2-6b+=b2+，解得 b=；
    当MP=PC时，b2-6b+=13，解得 b=；
    当MC=PC时，b2+=13，解得 b=±；
    综上，存在符合条件的M点，且坐标为 （，）、（，）、（，）、（，）、（，-）．
    点评：题目主要考查了利用待定系数法确定函数解析式、三角形面积的求法以及等腰三角形的判定和性质．类似（4）题：在等腰三角形的腰和底不确定的情况下，一定要进行分类讨论．
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    如图，在平面直角坐标系中，直y=
    3
    2
    x+b    与双曲线y=
    16
    x
    相交于第一象限内的点A，AB、AC分别垂直于x轴、y轴，垂足分别为B、C，已知四边形ABCD是正方形，求直线所对应的一次函数的解析式以及它与x轴的交点E的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标系中，原点O处有一乒乓球发射器向空中发射乒乓球，乒乓球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点落在X轴上为点B．有人在线段OB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让乒乓球落入桶内．已知OB=4米，OC=3米，乒乓球飞行最大高度MN=5米，圆柱形桶的直径为0.5，高为0.3米（乒乓球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．
    （1）求乒乓球飞行路线抛物线的解析式；
    （2）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，乒乓球能不能落入桶内？
    （3）当竖直摆放圆柱形桶
    8，9，10，11或12
    8，9，10，11或12
    个时，乒乓球可以落入桶内？（直接写出满足条件的一个答案）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，如图1，在平面直角坐标系内，直线l1：y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、B，与直线l2：y=
    13
    x    相交于点C．
    （1）求点C的坐标；
    （2）如图1，平行于y轴的直线x=1交直线l1于点E，交直线l2于点D，平行于y轴的直x=a交直线l1于点M，交直线l2于点N，若MN=2ED，求a的值；
    （3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO=135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论．

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    科目：初中数学 来源：2012届重庆万州区岩口复兴学校九年级下第一次月考数学试卷（带解析） 题型：解答题

    已知：直角梯形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图，若AC∥OB，OC平分∠AOB，CB⊥x轴于B，点A坐标为(3 ，4). 点P从原点O开始以2个单位/秒速度沿x轴正向运动 ；同时，一条平行于x轴的直线从AC开始以1个单位/秒速度竖直向下运动 ，交OA于点D，交OC于点M，交BC于点E. 当点P到达点B时，直线也随即停止运动.

    （1）求出点C的坐标；
    （2）在这一运动过程中, 四边形OPEM是什么四边形？请说明理由。若
    用y表示四边形OPEM的面积 ，直接写出y关于t的函数关系式及t的
    范围；并求出当四边形OPEM的面积y的最大值？
    （3）在整个运动过程中，是否存在某个t值，使⊿MPB为等腰三角形？
    若有，请求出所有满足要求的t值.

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    科目：初中数学 来源：2013年浙江省湖州市中考数学模拟试卷（十一）（解析版） 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，原点O处有一乒乓球发射器向空中发射乒乓球，乒乓球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点落在X轴上为点B．有人在线段OB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让乒乓球落入桶内．已知OB=4米，OC=3米，乒乓球飞行最大高度MN=5米，圆柱形桶的直径为0.5，高为0.3米（乒乓球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．
    （1）求乒乓球飞行路线抛物线的解析式；
    （2）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，乒乓球能不能落入桶内？
    （3）当竖直摆放圆柱形桶______个时，乒乓球可以落入桶内？（直接写出满足条件的一个答案）

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