Question

6．【知识链接】
（1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．
例如：$\sqrt{2}$的有理化因式是$\sqrt{2}$；1-$\sqrt{{x}^{2}+2}$的有理化因式是1+$\sqrt{{x}^{2}+2}$．
（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1，$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{1×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．
【知识理解】
（1）填空：2$\sqrt{x}$的有理化因式是$\sqrt{x}$；
（2）直接写出下列各式分母有理化的结果：
①$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；②$\frac{1}{3\sqrt{2}+\sqrt{17}}$=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{17}$．
【启发运用】
（3）计算：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$．

Answer 1

分析 （1）由2$\sqrt{x}$×$\sqrt{x}$=2x，即可找出2$\sqrt{x}$的有理化因式；
（2）①分式中分子、分母同时×（$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$），即可得出结论；②分式中分子、分母同时×（3$\sqrt{2}$-$\sqrt{17}$），即可得出结论；
（3）利用分母有理化将原式变形为$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，合并同类项即可得出结论．

解答 解：（1）∵2$\sqrt{x}$×$\sqrt{x}$=2x，
∴2$\sqrt{x}$的有理化因式是$\sqrt{x}$．
故答案为：$\sqrt{x}$．
（2）①$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{（\sqrt{7}+\sqrt{6}）（\sqrt{7}-\sqrt{6}）}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；
②$\frac{1}{3\sqrt{2}+\sqrt{17}}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{17}}{（3\sqrt{2}+\sqrt{17}）（3\sqrt{2}-\sqrt{17}）}$=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{17}$．
故答案为：①$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；3$\sqrt{2}$-$\sqrt{17}$．
（3）原式=$\frac{\sqrt{2}-1}{（1+\sqrt{2}）（\sqrt{2}-1）}$+$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$+$\frac{2-\sqrt{3}}{（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}$+…+$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$，
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
=$\sqrt{n+1}$-1．

点评 本题考查了分母有理化，解题的关键是：（1）由2$\sqrt{x}$×$\sqrt{x}$=2x，找出2$\sqrt{x}$的有理化因式；（2）根据平方差公式，将各式分母有理化；（3）利用分母有理化将原式变形为$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．