Question

【题目】如图，已知二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．过点B的直线l与这个二次函数的图象的另一个交点为D，与该图象的对称轴交于点E，与y轴交于点F，且DE：EF：FB＝1：1：2．

（1）求证：点F为OC的中点；

（2）连接OE，若△OBE的面积为2，求这个二次函数的关系式；

（3）设这个二次函数的图象的顶点为P，问：以DF为直径的圆是否可能恰好经过点P？若可能，请求出此时二次函数的关系式；若不可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）以DF为直径的圆能够恰好经过点P，

【解析】

（1）首先得出对称轴，再表示出D，C点坐标，再利用全等三角形的判定方法得出△DCF≌△BOF，进而求出答案；

（2）首先得出F点坐标，进而利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而得出答案；

（3）由（1）可得F（0， ），E（﹣1， ），再利用EP＝DE，进而得出关于a，c的等式，进而求出答案．

（1）如图1，过点D作DM∥FO，

∵y＝ax2+2ax+c＝a（x+1）2+c﹣a，

∴它的对称轴为x＝﹣1，

∵DE：EF：FB＝1：1：2，且DM∥NE∥OF，

∴B（2，0），且D点的横坐标为﹣2，

由此可得D（﹣2，c），

∵点C（0，c），

∴D、C关于x＝﹣1对称，

故∠DCF＝90°，

在△DCF和△BOF中

∴△DCF≌△BOF，

∴OF＝CF，

即点F为CO的中点．

（2）∵△OBE的面积为2，B（2，0），

∴E（﹣1，﹣2），

∵OF∥NE，

∴△BOF∽△BNE，

∴

∴

解得：FO＝ ，

由此可得F（0，﹣ ），C（0，﹣ ），

把B（2，0），C（0，﹣）代入y＝ax2+2ax+c得

解得：

∴抛物线解析式为：

（3）以DF为直径的圆能够恰好经过点P，

由（1）可得F（0， ），E（﹣1， ），D（﹣2，c），

∴

要使以DF为直径的圆恰好经过点P，有EP＝

∵E（﹣1，），P（﹣1，c﹣a），

∴EP＝

∴

另一方面，由B（2，0）可得8a+c＝0，即c＝﹣8a，

把它代入上式可得a＝ ，

∴