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    （本小题满分14分）如图9，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s.

    （1）求∠OAB的度数.

    （2）以OB为直径的⊙O‘与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O‘相切？

    （3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.

    （4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.

     

    【答案】

     

    （1）∠OAB=30°

    （2）t=3时，PM与⊙O‘相切

    （3）

    （4）当t=2，t=3.6，t=-18时，△APQ是等腰三角形.

    【解析】解：（1）在Rt△AOB中：

    tan∠OAB=

    ∴∠OAB=30°

    （2）如图10，连接O‘P，O‘M. 当PM与⊙O‘相切时，有∠PM O‘=∠PO O‘=90°，

       △PM O‘≌△PO O‘

    由（1）知∠OBA=60°

    ∵O‘M= O‘B

    ∴△O‘BM是等边三角形

    ∴∠B O‘M=60°可得∠O O‘P=∠M O‘P=60°

    ∴OP= O O‘·tan∠O O‘P =6×tan60°=

    又∵OP=t

    ∴t=，t=3

    即：t=3时，PM与⊙O‘相切.

    （3）如图9，过点Q作QE⊥x于点E

       ∵∠BAO=30°，AQ=4t

       ∴QE=AQ=2t

       AE=AQ·cos∠OAB=4t×

    ∴OE=OA-AE=-t

       ∴Q点的坐标为（-t，2t）

       S△PQR= S△OAB -S△OPR -S△APQ -S△BRQ

                =

     =

     =   （）

       当t=3时，S△PQR最小=

       （4）分三种情况：如图11.

    1当AP=AQ1=4t时，

    ∵OP+AP=

    ∴t+4t=

    ∴t=

    或化简为t=-18

    2当PQ2=AQ2=4t时

     过Q2点作Q2D⊥x轴于点D，

    ∴PA=2AD=2A Q2·cosA=t

    即t+t =

    ∴t=2

    3当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H

     AH=PA·cos30°=（-t）·=18-3t

    AQ3=2AH=36-6t

    得36-6t=4t，

    ∴t=3.6

    综上所述，当t=2，t=3.6，t=-18时，△APQ是等腰三角形.

     

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    （1）求该二次函数的关系式；

    （2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴上午垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；

    （3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

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    经过点（0,4）.

    （1）       求m的值；

    （2）       将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线.已知平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线l2）与平移前的抛物线的对称轴（设为直线l1）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为-8.

    ① 试求平移后的抛物线的解析式；

    ② 试问在平移后的抛物线上是否存在点P，使得以3为半径的圆P既与x轴相切，又与直线l2相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l2被圆P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由.

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （本小题满分14分）
    已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，）， 与x轴交于点A、 B，点A的坐标为（2，0）．

    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）点P是线段AB上的动点，过点P作PD∥BC，交AC于点D，连接CP．当△CPD的面积最大时，求点P的坐标；
    （3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点Q，与直线BC交于点F，点M 的坐标为（，0）．问：是否存在这样的直线，使得△OMF是等腰三角形？若存  在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：2011年广东省萝岗区初中毕业班综合测试数学卷 题型：解答题

    （本小题满分14分）
    如图1，抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.
     
    【小题1】（1）求点A的坐标；
    【小题2】（2)当b=0时（如图2），求与的面积。
    【小题3】（3）当时，与的面积大小关系如何？为什么？
    【小题4】（4）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.

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    科目：初中数学 来源：2011年初中毕业升学考试（内蒙古赤峰卷）数学 题型：解答题

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    ①  试求平移后的抛物线的解析式；

    ②  试问在平移后的抛物线上是否存在点P，使得以3为半径的圆P既与x轴相切，又与直线l2相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l2被圆P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由.

     

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