Question

已知，如图，在直角坐标系中，以y轴上的点C为圆心，2为半径的圆与x轴相切于原点O，点P在x轴的负半轴上，PA切⊙C于点A，AB为⊙C的直径，PC交OA于点D．
（1）求证：PC⊥OA；
（2）若△APO为等边三角形，求直线AB的解析式；
（3）若点P在x轴的负半轴上运动，原题的其他条件不变，设点P的坐标为（x，0），四边形POCA的面积为S，求S与点P的横坐标x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（4）当点P在x轴的负半轴上运动时，原题的其他条件不变，分析并判断是否存在这样的一点P，使S_{四边形POCA}=S_△AOB？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题可根据切线长定理得出PC平分∠ACO，然后根据垂径定理即可得出PC⊥AO．
（2）求直线AB的解析式，已知了直线AB上C点的坐标．再得出一点的坐标即可用待定系数法求出直线AB的解析式．以求A点为例，可在直角三角形PCO中，根据特殊角∠CPO（30°），以及半径的长，求出OP的长，然后可过A作x轴的垂线，用相同的方法求出A点的坐标．由此可求出直线AB的解析式．
（3）由于△PAC≌△POC，因此两三角形的面积相等，四边形POCA的面积实际是2倍的△POC的面积．由此可求出S与x的函数关系式．
（4）根据圆的对称性可知A、B两点到y轴的距离应该相等，因此△BOC的面积和△ACO的面积相等，（3）中得出△POC与△PAC的面积相等，因此S_{四边形POCA}=S_△AOB能得出的条件是△AOC和△POC的面积相等，由于两三角形同底，因此高相等即PA∥OC，因此四边形PACO是个矩形（实际是个正方形），由此可得出AC=OP=r，由此可求出P点的坐标．

解答：（1）证明：∵⊙C与x轴相切于原点O，点P在x轴上，
∴PO与⊙C相切于点O，
又∵PA切⊙C于点A，
∴PO=PA，PC平分∠APO，
∴PC⊥OA．

（2）解：∵△APO为等边三角形，
∴∠CPO=

1

2

∠APO=

1

2

×60°=30°，
又∵∠POC=90°，
∴PC=2OC=2×2=4；
在Rt△POC中由勾股定理可得PO=2

3

，
作AH⊥PO于H，在Rt△AHO中，OA=OP=2

3

，
∴OH=

1

2

PO=

3

，
∴AH=3，
∴A（-

3

，3），
又点C（0，2），
故利用待定系数法可求得直线AB的函数解析式为y=-

3

3

x+2．

（3）解：S_{四边形POCA}=2S_△POC=2×

1

2

×（-x）×2=-2x，
即S=-2x（x＜0）．

 （4）解：存在这样的一点P，其坐标为（-2，0），
∵S_△AOB=2S_△AOC，S_{四边形POCA}=2S_△POC，
∴S_△AOC=S_△POC，
∴PA∥OC；
又∵∠POC=90°，
∴∠APO=90°，
∵∠PAC=∠POC=90°，
∴四边形POCA是矩形，
∴OP=AC=2，
∴P（-2，0）．

点评：本题考查了切线的性质、垂径定理、切线长定理、等边三角形的性质、矩形的判定以及一次函数的应用等知识点，综合性较强．