Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）；
①求此抛物线的表达式与点D的坐标；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；
（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）①利用待定系数法求抛物线的解析式；利用勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，由圆周角定理得AB为圆的直径，再由垂径定理知点C、D关于AB对称，由此得出点D的坐标；
②求出△BDM面积的表达式，再利用二次函数的性质求出最值．解答中提供了两种解法，请分析研究；
（2）根据抛物线与x轴的交点坐标、根与系数的关系、相似三角形求解．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），
∴

4a-2b+c=0 64a+8b+c=0 c=-4

，解得

a= 1 4 b=- 3 2 c=-4

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

4

x²-

3

2

x-4；
∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．
如答图1，连接AC、BC．

由勾股定理得：AC=

20

，BC=

80

．
∵AC²+BC²=AB²=100，
∴∠ACB=90°，
∴AB为圆的直径．
由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，
∴D（0，4）．

（2）解法一：
设直线BD的解析式为y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），
∴

8k+b=0 b=4

，解得

k=- 1 2 b=4

，
∴直线BD解析式为：y=-

1

2

x+4．
设M（x，

1

4

x²-

3

2

x-4），
如答图2-1，过点M作ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，-

1

2

x+4）．
∴ME=（-

1

2

x+4）-（

1

4

x²-

3

2

x-4）=-

1

4

x²+x+8．
∴S_△BDM=S_△MED+S_△MEB=

1

2

ME（x_E-x_D）+

1

2

ME（x_B-x_E）=

1

2

ME（x_B-x_D）=4ME，
∴S_△BDM=4（-

1

4

x²+x+8）=-x²+4x+32=-（x-2）²+36．
∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；

解法二：
如答图2-2，过M作MN⊥y轴于点N．
设M（m，

1

4

m²-

3

2

m-4），
∵S_△OBD=

1

2

OB•OD=

1

2

×8×4=16，
S_梯形OBMN=

1

2

（MN+OB）•ON
=

1

2

（m+8）[-（

1

4

m²-

3

2

m-4）]
=-

1

2

m（

1

4

m²-

3

2

m-4）-4（

1

4

m²-

3

2

m-4），
S_△MND=

1

2

MN•DN
=

1

2

m[4-（

1

4

m²-

3

2

m-4）]
=2m-

1

2

m（

1

4

m²-

3

2

m-4），
∴S_△BDM=S_△OBD+S_梯形OBMN-S_△MND
=16-

1

2

m（

1

4

m²-

3

2

m-4）-4（

1

4

m²-

3

2

m-4）-2m+

1

2

m（

1

4

m²-

3

2

m-4）
=16-4（

1

4

m²-

3

2

m-4）-2m
=-m²+4m+32
=-（m-2）²+36；
∴当m=2时，△BDM的面积有最大值为36．

（3）如答图3，连接AD、BC．

由圆周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
∴△AOD∽△COB，
∴

OD

OA

=

OB

OC

，
设A（x₁，0），B（x₂，0），
∵已知抛物线y=x²+bx+c（c＜0），
∵OC=-c，x₁x₂=c，
∴

OD

-x1

=

x2

-c

，
∴OD=

-x1x2

-c

=1，
∴无论b，c取何值，点D均为定点，该定点坐标D（0，1）．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，直角三角形的判定及性质，图形面积计算，三角形相似的判定和性质，二次函数的系数与x轴的交点的关系等．