Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；

（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（，）或（，），见解析.

【解析】

（1）利用待定系数法，然后将A、B、C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；
（2））过P点作PQ垂直x轴，交AC于Q，把△APC分成两个△APQ与△CPQ，把PQ作为两个三角形的底，通过点A，C的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．
（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM为y=-x，若∠AOM=∠CBA，则OM为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM与AD的交点M．

（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c得

，

解得，

所以抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点，

∵A（﹣3，0），C（0，3），

∴直线AC解析式为y＝x+3，

设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3．），则Q点坐标为（x，x+3），

∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．

∴S△PAC＝，

∴，

解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．

当x＝﹣1时，P点坐标为（﹣1，4），

当x＝﹣2时，P点坐标为（﹣2，3），

综上所述：若△PAC面积为3，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），

（3）如解（3）图1，过D点作DF垂直x轴于F点，过A点作AE垂直BC于E点，

∵D为抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的顶点，

∴D点坐标为（﹣1，4），

又∵A（﹣3，0），

∴直线AC为y＝2x+4，AF＝2，DF＝4，tan∠PAB＝2，

∵B（1，0），C（0，3）

∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直线BC解析式为y＝﹣3x+3．

∵AC＝4，

∴AE＝ACsin∠ABC＝＝，BE＝，

∴CE＝，

∴tan∠ACB＝，

∴tan∠ACB＝tan∠PAB＝2，

∴∠ACB＝∠PAB，

∴使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，如解（3）图2

Ⅰ．当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA，

即OM为y＝﹣x，

设OM与AD的交点M（x，y）

依题意得：，

解得，

即M点为（，）．

Ⅱ．若∠AOM＝∠CBA，即OM∥BC，

∵直线BC解析式为y＝﹣3x+3．

∴直线OM为y＝﹣3x，设直线OM与AD的交点M（x，y）．则

依题意得：，

解得，

即M点为（，），

综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似的点M，其坐标为（，）或（，）．