Question

、如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B,AC⊥OM于点A.∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点.
小题1:点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系,并说明理由.
小题2:点A在移动的过程中,若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？
小题3:若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想.

Answer 1

小题1:AE=AD
小题2:菱形
小题3:OC = AC+AD

(1) AE=AD                                                   
理由：AC⊥OM
在Rt△AOE中,∠AEO+∠AOE=90⁰
同理：∠ODB+∠DOB=90⁰
又∵∠MON的角平分线OP分别交AB于D点.
∴∠AEO=∠DOB
又∵∠DOB=∠ADE
∴∠AED=∠ADE
∴AE=AD
(2)菱形                                                       
证明： 连接AF交DE于点G,连接DF,EF.
点F与点A关于直线OP对称可知：AF⊥DE, AE=FE,           
∴AG=FG,
又∵AE=AD
∴DG=EG
∴四边形ADFE是平行四边形                               
∵AF⊥DE                                      
∴平行四边形ADFE是菱形                                  
（3）OC= AC+AD                                             
证明：连接EF.

∵点F与点A关于直线OP对称,
∴AO=OF
∵AC⊥OM, ∠MON=45°                                 
∴∠OAC=90°
∴∠ACO=∠MON=45°                                             
∴OF =" AO" = AC                                            
由（2）知四边形ADFE是菱形
∴EF∥AB  AD=EF
∵AB⊥ON
∴∠ABC=90°
∴∠EFC=∠ABC =90°
∵∠ACO=45°
∴∠ACO=∠CEF
∴FC =" EF" =AD                                               
又∵OC=OF+FC
∴OC = AC+AD