Question

如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BF⊥AE，垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.
求证：（1） CG=BH；（2）FC²=BF·GF；（3）.

Answer 1

(1)、 (2)、 (3) 证明见解析

证明：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，CG⊥BF，∴CG⊥BF.
∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90⁰, ∠CBG+∠BCG=90⁰, ∠BAH+∠ABH=90⁰,
∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG。
又∵AB=BC，∴△ABH≌△BCG（ASA）。∴CG=BH。
（2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90⁰，∴△CFG∽△BFC。
∴，即FC²=BF·GF。
（3）∵∠CBG=∠FBC，∠CGB=∠FCB =90⁰，∴△CBG∽△FBC。
∴，即BC²=BF·BG。
∵AB=BC，∴AB²=BF·BG。
∴，即。
（1）由互余关系得出∠BAH=∠CBG，而∠AHB=∠BGC=90°，AB=BC，可证△ABH≌△BCG，得出结论。
（2）在Rt△BCF中，CG⊥BF，利用互余关系可证△CFG∽△BFC，利用相似比得出结论。
（3）根据Rt△BCF中，CG⊥BF，同理可证△CBG∽△FBC，利用相似比得出BC²=BF·BG，即AB²=BF·BG，结合（2）的结论求比即可。