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    （2012•鞍山一模）如图，点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（3
    		3
    ，0），点B在x轴上方且BA⊥x轴，tanB=
    		3
    ，过点C作CD⊥AB于D，点P是线段OA上一动点，PM∥AB交BC于点M，交CD于点Q，以PM为斜边向右作直角三角形PMN，∠MPN=30°，PN、MN的延长线交直线AB于E、F，设PO的长为x，EF的长为y．
    （1）求线段PM的长（用x表示）；
    （2）求点N落在直线AB上时x的值；
    （3）求PE是线段MF的垂直平分线时直线PE的解析式；
    （4）求y与x的函数关系式并写出相应的自变量x取值范围．
    分析：（1）由题意易得四边形OCQP是矩形，则OP=CQ=x，PQ=OC=3，又由平行线分线段成比例定理，可得
    MQ
    BD
    =
    CQ
    CD
    ，则可求得MQ的值，继而求得PM的值；
    （2）由∠PNM=90°，∠MPN=30°，可得∠NPA=60°，然后在Rt△NPA中，表示出PN的值，在Rt△PNM中，也可表示出PN，则可得方程2（3
    		3
    -x）=
    		3
    2
    （3+
    		3
    3
    x），解此方程即可求得答案；
    （3）首先设点E（3
    		3
    ，m），利用三角函数的知识即可求得点E的坐标为：（3
    		3
    ，9-
    		3
    x），又由PE是线段MF的垂直平分线，可求得点N的坐标，继而可得方程6-
    2
    		3
    3
    x=3+
    		3
    3
    x，解此方程则可求得点P与E的坐标，再利用待定系数法即可求得此直线的解析式；
    （4）由△PNM∽△ENF，根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求得EF：PM=AG：GP，继而可求得y与x的函数关系式，由PN、MN的延长线交直线AB于E、F，可得x的取值范围从0开始，到点N在BD上时结束．
    解答：解：（1）∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（3
    		3
    ，0），
    ∴OC=AD=3，OA=CD=3
    		3
    ，
    ∵CD⊥AB，tanB=
    		3
    ，
    ∴BD=
    CD
    tanB
    =3，
    ∵PM∥AB，CD⊥AB，BA⊥x轴，
    ∴四边形OCQP是矩形，
    ∴OP=CQ=x，PQ=OC=3，
    ∴
    MQ
    BD
    =
    CQ
    CD
    ，
    即
    MQ
    3
    =
    x
    3
    		3
    ，
    ∴MQ=
    		3
    3
    x，
    ∴PM=PQ+MQ=3+
    		3
    3
    x；

    （2）∵∠PNM=90°，∠MPN=30°，
    ∴∠NPA=60°，
    ∴在Rt△NPA中，cos∠NPA=
    PA
    PN
    =
    1
    2
    ，
    ∴PN=2PA=2（3
    		3
    -x），
    在Rt△PNM中，PN=PM•cos∠MPN=PM•cos30°=
    		3
    2
    PM=
    		3
    2
    （3+
    		3
    3
    x），
    ∴2（3
    		3
    -x）=
    		3
    2
    （3+
    		3
    3
    x），
    解得：x=
    9
    		3
    5
    ；

    （3）设E（3
    		3
    ，m），
    ∵∠MPN=30°，
    ∴∠NPA=60°，
    在Rt△EPA中，tan∠EPA=
    AE
    PA
    =
    m
    3
    		3
    -x
    =
    		3
    ，
    ∴m=9-
    		3
    x，
    ∴点E的坐标为：（3
    		3
    ，9-
    		3
    x），
    ∵PE为MF的垂直平分线，PM∥EF，
    ∴MN：FN=PN：EN，
    ∴PN=EN，
    ∴点N的坐标为：（
    3
    		3
    +x
    2
    ，
    9-
    		3
    x
    2
    ），
    过点N作NG⊥OA于G，
    ∴PG=
    3
    		3
    +x
    2
    -x=
    3
    		3
    -x
    2
    ，
    ∴PN=2PG=3
    		3
    -x，
    ∴PM=
    PN
    cos∠NPM
    =
    3
    		3
    -x
    		3
    2
    =6-
    2
    		3
    3
    x，
    ∴6-
    2
    		3
    3
    x=3+
    		3
    3
    x，
    解得：x=
    		3
    ，
    ∴点P的坐标为（
    		3
    ，0），点E的坐标为（3
    		3
    ，6），
    设直线PE的解析式为：y=kx+b，
    ∴
    		3
    k+b=0
    3
    		3
    k+b=6
    ，
    解得：
    k=
    		3
    b=-3
    ，
    ∴直线PE的解析式为：y=
    		3
    x-3；

     （4）过N作NG⊥x轴于G，
    ∵PN=PM•cos∠NPM=
    		3
    2
    PM，
    ∴NG=PN•sin∠NPM=
    		3
    2
    PN=
    3
    4
    PM，PG=PN•cos∠NPG=
    1
    2
    PN=
    		3
    4
    PM，
    ∴点N横坐标为
    		3
    4
    PM+x，点N的纵坐标为
    3
    4
    PM，
    ∵PM∥EF，
    ∴△PNM∽△ENF，
    ∴EF：PM=AG：GP，
    即
    y
    PM
    =
    3
    		3
    -(
    		3
    4
    PM+x)
    		3
    4
    PM
    ，
    整理得：y=12-PM-
    4
    		3
    3
    x=12-（3+
    		3
    3
    x）-
    4
    		3
    3
    x=9-
    5
    		3
    3
    x，
    x的取值范围为：（0＜x＜
    9
    		3
    5
    ）．
    点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形的知识、矩形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
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    （2012•鞍山一模）化简：
    2
    3
    		9x
    +6
    x
    4
    -2x
    1
    x
    （x＞0）

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