Question

1．已知O为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点（M与点O，D不重合），以线段AM为一边作正方形AMEF，连接FD．
（1）当点M在线段OD上时（如图1），线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？请说明理由；
（2）当点M在线段OD的延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形性质求出AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90°，推出∠FAD=∠MAB，证△FAD≌△MAB，推出BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，求出∠ADB=45°即可；
（2）与（1）类似，根据正方形性质，推出∠FAD=∠MAB，判定△FAD≌△MAB，推出BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，求出∠ADB=45°即可．

解答 解：（1）BM=DF，BM⊥DF．
理由：∵四边形ABCD、AMEF是正方形，
∴AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90°，
∴∠FAM-∠DAM=∠DAB-∠DAM，
即∠FAD=∠MAB，
∵在△FAD和△MAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AM}\\{∠FAD=∠MAB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△MAB，
∴BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，
∵∠ADB=45°，
∴∠FDB=45°+45°=90°，
∴BM⊥DF，
即BM=DF，BM⊥DF．

（2）BM=DF，BM⊥DF都成立，
理由是：∵四边形ABCD和AMEF均为正方形，
∴AB=AD，AM=AF，∠BAD=∠MAF=90°，
∴∠FAM+∠DAM=∠DAB+∠DAM，
即∠FAD=∠MAB，
∵在△FAD和△MAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AM}\\{∠FAD=∠MAB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△MAB，
∴BM=DF，∠ABM=∠ADF，
由正方形ABCD知，∠ABM=∠ADB=45°，
∴∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°，
即BM⊥DF，
∴（1）中的结论仍成立．

点评 本题考查了正方形的性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△FAD≌△MAB，本题具有一定的代表性，主要培养学生运用性质进行推理的能力和猜想能力．