已知：抛物线y=ax²+bx+c(a＞0)的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为x=2.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；

(3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在请说明理由.

【答案】

【解析】

试题分析：（1）把点B、C的坐标代入抛物线解析式，根据对称轴解析式列出关于a、b、c的方程组，求解即可；（2）根据抛物线解析式求出点A的坐标，再利用勾股定理列式求出AC的长，然后求出OD，可得点D在抛物线对称轴上，根据线段垂直平分线上的性质可得∠PDC=∠QDC，PD=DQ，再根据等边对等角可得∠PDC=∠ACD，从而得到∠QDC=∠ACD，再根据内错角相等，两直线平行可得PQ∥AC，再根据点D在对称轴上判断出DQ是△ABC的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DQ=AC，再求出AP，然后根据时间=路程÷速度求出点P运动的时间t，根据勾股定理求出BC，然后求出CQ，根据速度=路程÷时间，计算即可求出点Q的速度．（3）假设存在这样的点M，使得△MPQ为等腰三角形，那么就需要要分类讨论：①当MP=MQ，即M为顶点；②；当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点；③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点.进行分类求解即可.

试题解析：解：方法一：∵抛物线过C(0,-6)

∴c=－6, 即y=ax²+bx－6

由，解得：a= ,b=－

∴该抛物线的解析式为y=x²－x－6；

方法二：∵A、B关于x=2对称

∴A（－8，0），设y=a(x＋8)(x－12)

C在抛物线上，∴－6=a×8×(－12) 即a=

∴该抛物线的解析式为：y=x²－x－6.

（2）存在，设直线CD垂直平分PQ,

在Rt△AOC中，AC==10=AD

∴点D在对称轴上，连结DQ 显然∠PDC=∠QDC，

由已知∠PDC=∠ACD，

∴∠QDC=∠ACD，∴DQ∥AC，

DB=AB－AD=20-10=10

∴DQ为△ABC的中位线，∴DQ=AC=5.

AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5

∴t=5÷1=5(秒)

∴存在t=5(秒)时，线段PQ被直线CD垂直平分,

在Rt△BOC中, BC==6 ∴CQ=3

∴点Q的运动速度为每秒单位长度.

（3）存在过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9

在Rt△PQH中，PQ==3.

①当MP=MQ，即M为顶点，

设直线CD的直线方程为：y=kx+b(k≠0),则：

,解得：.

∴y=3x-6

当x=1时，y=－3 , ∴M₁(1, －3).

②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点.

设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得：

4²+y²=90 即y=±

∴M₂（1，） M₃（1，－）.

③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点.

过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F(1, －3)

设直线x=1存在点M(1,y), 由勾股定理得：

(y＋3)²+5²=90 即y=－3±

∴M₄(1, －3＋) M₅((1, －3－) .

综上所述：存在这样的五点：

M₁(1, －3), M₂（1，）, M₃（1，－）, M₄(1, －3＋),

M₅((1, －3－)

考点：二次函数综合题.

练习册系列答案

初中毕业学业考试模拟试卷湖南教育出版社系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

已知：抛物线y=x2-(a+b)x+

，其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边．
（1）求证：抛物线与x轴必有两个不同交点；
（2）设直线y=ax-bc与抛物线交于E、F两点，与y轴交于点M，抛物线与y轴交于点N，若抛物线的对称轴为x=a，△MNE与△MNF的面积比为5：1，求证：△ABC是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，设△ABC的面积为

，抛物线与x轴交于点P、Q，问是否

存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在，求出圆的圆心坐标，若不存在，请说明理由．