Question

一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：

手机型号	A型	B型	C型
进  价（单位：元/部）	900	1200	1100
预售价（单位：元/部）	1200	1600	1300

（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；
（2）求出y与x之间的函数关系式；
（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．
①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P=预售总额-购机款-各种费用）
②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．

Answer 1

分析：（1）关键描述语：A型、B型、C型三款手机共60部，由A、B型手机的部数可表示出C型手机的部数．
（2）根据购机款列出等式可表示出x、y之间的关系．
（3）①由预估利润P=预售总额-购机款-各种费用，列出等式即可．
②根据题意列出不等式组，求出购买方案的种数，预估利润最大值即为合理的方案．

解答：解：（1）60-x-y；

（2）由题意，得900x+1200y+1100（60-x-y）=61000，
整理得y=2x-50．

（3）①由题意，得P=1200x+1600y+1300（60-x-y）-61000-1500，
P=1200x+1600y+78000-1300x-1300y-61000-1500，
P=-100x+300y+15500，
P=-100x+300（2x-50）+15500，
整理得P=500x+500．
②购进C型手机部数为：60-x-y=110-3x．根据题意列不等式组，得

x≥8 2x-50≥8 110-3x≥8

，解得29≤x≤34．
∴x范围为29≤x≤34，且x为整数．
∵P是x的一次函数，k=500＞0，
∴P随x的增大而增大．
∴当x取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元．
此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部．

点评：此题结合图表，以手机销售为载体，考查了根据实际问题列函数解析式的问题．
（1）、（2）两题较简单，容易列出表达式和一次函数解析式，主旨是为（3）提供思路；
（3）根据前两题的关系式及“每款手机至少要购进8部”的条件，列出不等式组，求出x的取值范围，
然后根据一次函数的增减性求出利润最大值．