Question

阅读下列文字
2010年广州亚运会前夕某公司生产一种时令商品每件成本为20元，经市场发现该商品在未来40天内的日销售量为a件，与时间t天的关系如下表：

时间t（天）	1	3	6	10	36	…
日销售量a（件）	94	90	84	76	24	…

未来40天内，前20天每天的价格b（元/件）与时间t的关系为b=

1

4

t+25（1≤t≤20），后20天每天价格为c（元/件）与时间t的关系式为c=-

1

2

t+40（21≤t≤40）解得下列问题
（1）分析表中的数据，用所学过的一次函数，二次函数，反比例函数知识确定一个满足这些数据的a与t的函数关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中该公司决定销售一件就捐赠n元（n＜4）利润给亚运会组委会，通过销售记录发现前20天中，每天扣除捐赠后利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；
（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求n的取值范围．

解答：解：（1）将

t=1 a=96

，

t=3 a=90

代入一次函数a=kt+m，
有

k+m=94 3k+m=90

∴

k=-2 m=96

∴a=-2t+96，
经检验，其他点的坐标均适合以上解析式
故所求函数的解析式为a=-2t+96．

（2）设前20天日销售利润为P₁，后20天日销售利润为P₂
由P₁=（-2t+96）（

1

4

t+5）=-

1

2

t²+14t+480=-

1

2

（t-14）²+578，
∵1≤t≤20，∴当t=14时，P₁有最大值578元，
由P₂=（-2t+96）（-

1

2

t+20）=t²-88t+1920=（t-44）²-16，
∵21≤t≤40且对称轴为t=44，∴函数P₂在21≤t≤40上随t的增大而减小，
∴当t=21时，P₂有最大值为（21-44）²-16=529-16=513（元），
∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元．

（3）P₃=（-2t+96）（

1

4

t+5-n）=-

1

2

t²+（14+2n）t+480-96n，
∴对称轴为t=14+2n，
∵1≤t≤20，
∴14+2n≥20得n≥3时，P₃随t的增大而增大，
又∵n＜4，
∴3≤n＜4．

点评：本题考查二次函数的应用，注意：（1）熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性；（2）最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．同时注意自变量的取值范围．