Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD，∠D=120°，AC平分∠BCD，梯形的中位线长为6，求AC的长及梯形的面积？

Answer 1

分析：作AE⊥BC于E，根据等腰梯形性质求出∠DAC=∠DCA=30°，求出∠BAC=90°，推出AD=DC，根据梯形的中位线定理求出AD+BC，根据直角三角形性质求出BC=2AD，AE，根据勾股定理求出AC，根据面积公式求出即可．

解答：解：∵四边形ABCD是等腰梯形，∠D=120°，
∴∠B=∠BCD=60°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA=∠ACD=30°，
则∠BAC=90°，
又∠CAD=∠BCA，
∴∠CAD=∠ACD，
则AD=CD=AB，
在Rt△ABC中，∵∠BCA=30°，
∴BC=2AB=2AD，
∵中位线长为6，
∴AD+BC=3AD=12，
∴AD=4，BC=2AD=8，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=

BC2-AB2

=

82-42

=4

3

，
作AE⊥BC于E，
则AE=

1

2

AC=2

3

，
∴梯形的面积为6×2

3

=12

3

，
答：AC的长是4

3

，梯形的面积是12

3

．

点评：本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．