Question

12．已知△ABC的两边AB、AC的长分别是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）当k为何值时，△ABC是直角三角形；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长．

Answer 1

分析 利用分解因式法解一元二次方程即可得出x₁=k+1，x₂=k+2．
（1）由△ABC是直角三角形利用勾股定理即可得出关于k的一元二次方程（5为斜边和k+2为斜边两种情况），解之即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质即可得出关于k的一元一次方程（AB=BC或AC=BC），解之即可得出k值，再根据三角形的周长公式即可求出结论．

解答 解：∵x²-（2k+3）x+k²+3k+2=（x-k-1）（x-k-2）=0，
∴x₁=k+1，x₂=k+2．
（1）∵△ABC是直角三角形，
∴（k+1）²+（k+2）²=25或（k+1）²+25=（k+2）²，
解得：k₁=-5（舍去），k₂=2，k₃=11．
∴当k为2或11时，△ABC是直角三角形；
（2）若要△ABC是等腰三角形，只需AB=BC或AC=BC，
即k+1=5或k+2=5，
解得：k=4或k=3．
当k=4时，△ABC的周长为4+1+4+2+5=16；
当k=3时，△ABC的周长为3+1+3+2+5=14．
∴当k为4或3时，△ABC是等腰三角形，且△ABC的周长为16或14．

点评 本题考查了勾股定理、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用勾股定理列出关于k的一元二次方程；（2）根据等腰三角形的性质找出关于k的一元一次方程．