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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知：如图，抛物线y=x2-（m+2）x+3（m-1）与x轴的两个交点M、N在原点的精英家教网两侧，点N在点M的右边，直线y1=-2x+m+6经过点N，交y轴于点F．
    （1）求这条抛物线和直线的解析式．
    （2）又直线y2=kx（k＞0）与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y1交于点P，分别过点A、B、P作x轴的垂线，垂足分别是C、D、H．
    ①试用含有k的代数式表示
    1
    OC
    -
    1
    OD
    ；
    ②求证：
    1
    OC
    -
    1
    OD
    =
    2
    OH
    ．
    （3）在（2）的条件下，延长线段BD交直线y1于点E，当直线y2绕点O旋转时，问是否存在满足条件的k值，使△PBE为等腰三角形？若存在，求出直线y2的解析式；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）可先根据直线y1的解析式求出N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中即可求出m的值，然后根据M、N在原点两侧，即3（m-1）＜0，将不合题意的m的值舍去，即可求出抛物线和直线的解析式；
    （2）本题可联立个相交函数的解析式，求出C，D，H三点的横坐标，然后用根与系数的关系进行求解即可；
    （3）本题要分三种情况进行讨论：
    ①当PB=BE时，则有∠OFD=∠OF，由于∠OFD为锐角且小于45°，因此∠FOB为钝角，此时直线y2的斜率k＜0，显然不合题意．
    ②当PB=PE时，那么PF=PO，P点位于OF的垂直平分线上，因此P点的纵坐标为3，由此可求出P点的坐标．以此来求出直线y2的解析式．
    ③当PE=BE时，那么PF=OF=6，可过P作PG⊥y轴于G，通过构建相似三角形来求出P点的横坐标，进而根据直线y1的解析式求出P点的坐标，以此来求出直线y2的解析式．
    综上所述，可求得符合条件的直线y2的解析式．
    解答：解：（1）由题意可知：N点的坐标为（
    m+6
    2
    ，0）．
    已知抛物线过N点，则有：
    (m+6)2
    4
    -
    (m+6)(m+2)
    2
    +3（m-1）+0
    即m2-8m=0，解得m=0，m=8．
    ∵M，N在原点两侧，因此3（m-1）＜0，m＜1；
    因此m=8不合题意舍去
    ∴m=0．
    ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，直线的解析式为y1=-2x+6．

    （2）已知抛物线与直线y2交于A、B两点，
    因此kx=x2-2x+3，
    即x2-（2+k）x-3=0
    设C、D的坐标为（x1，0），（x2，0）．
    ∴x1+x2=2+k，x1•x2=-3
    ∴
    1
    OC
    -
    1
    OD
    =
    OD-OC
    OC•OD
    =
    x1+x2
    -x1x2
    =
    2+k
    3
    ．
    已知直线y2与y1交于P点，
    则：-2x+6=kx，x=
    6
    k+2

    ∴H点的坐标为（
    6
    k+2
    ，0）
    因此
    2
    OH
    =
    2+k
    3
    ，
    ∴
    1
    OC
    -
    1
    OD
    =
    2
    OH
    ．

    （3）本题要分三种情况：
    ①PB=BE，则有∠OFD=∠OPF，
    ∵∠OFD＜45°，
    ∴∠FOB为钝角，此时y2的斜率k＜0，
    因此不合题意，不存在这种情况．
    ②PB=PE，则有PF=PO，设P点的坐标为（x，y），
    ∴y=
    1
    2
    OF=3．
    已知直线y1过P点，
    因此P点的坐标为（
    3
    2
    ，3）．
    ∴3=
    3
    2
    k，k=2．
    因此直线y2的解析式为y2=2x．
    ③PE=BE，则有PF=OF=6．过P作PG⊥y轴于G，设点P的坐标为（x，y）．
    精英家教网在直角三角形OEF中，OE=3，OF=6，
    根据勾股定理可得：EF=3
    		5
    ．
    ∵PG∥x轴
    ∴
    PF
    NF
    =
    PG
    ON
    ，
    即
    6
    3
    		5
    =
    x
    3
    ．
    ∴x=
    6
    		5
    5
    ，
    由于直线y1=-2x+6过P点，
    因此P点的坐标为（
    6
    		5
    5
    ，
    30-12
    		5
    5
    ）．
    ∴
    30-12
    		5
    5
    =k•
    6
    		5
    5
    ，k=
    		5
    -2．
    ∴y2=（
    		5
    -2）x．
    综上所述y2的解析式为y2=2x或y2=（
    		5
    -2）x．
    点评：本题考查了一次函数和二次函数解析式的确定、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系、函数图象的交点、等腰三角形的构成情况等知识点，综合性强，主要考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．
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    已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为-1和3，精英家教网与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M．
    （1）求这条抛物线的解析式；
    （2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；
    （3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上，矩形面积为12，
    （1）求该抛物线的对称轴；
    （2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；
    （3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•宁化县质检）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1-
    		3
    ，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′（1，3）处．
    （1）求原抛物线的解析式；
    （2）在原抛物线上，是否存在一点，与它关于原点对称的点也在该抛物线上？若存在，求满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
    （3）学校举行班徽设计比赛，九年级（5）班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比
    		5
    -1
    2
    （约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：
    		5
    ≈2.236    ，
    		6
    ≈2.449    ，结果精确到0.001）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）若点M在抛物线上，且△ABC与△ABM的面积相等，直接写出点M的坐标；
    （3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
    （4）若平行于x轴的动直线l与线段AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知，如图，抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA=OC，设抛物线的顶点为点P，直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称．
    （1）求p、q的值．
    （2）在题中的抛物线上是否存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）连接PA、AC．问：在直线PC上，是否存在这样点E（不与点C重合），使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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