Question

如图，在△ABC中，∠ACB＞90°，D是AC的中点，E是线段BC延长线上的动点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F
（1）求证：DE=DF；
（2）若AC丄EF试判断四边形AFCE的形状，并证明你的结论；
（3）当∠B=22.5，CA=CB时，请探索：点E在运动过程中能否使四边形成为AFCE成为正方形？若不能，请说明理由；若能，求出BC与CE的数量关系．

Answer 1

（1）证明：∵AF∥BE，
∴∠FAC=∠ACE，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD，
在△AFD与△ECD中，，
∴△AFD≌△ECD（ASA），
∴AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DE=DF；

（2）解：是菱形．
理由如下：∵AC丄EF，四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）；

（3）能．
理由如下：∵∠B=22.5°，CA=CB，
∴∠BAC=∠B=22.5°，
∴∠ACE=∠B+∠BAC=22.5°×2=45°，
∵四边形AFCE为正方形，
∴AE⊥CE，
∴Rt△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=CE，
故BC=CE，
故当BC=CE时，点E在运动过程中能否使四边形成为AFCE成为正方形．
分析：（1）根据AF∥BE，利用两直线平行，内错角相等可得∠FAC=∠ACE，然后证明△AFD与△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CE，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AFCE是平行四边形，然后根据平行四边形对角线互相平分即可得证；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判定；
（3）先根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACE的度数是45°，四边形成为AFCE成为正方形，则AE⊥BE，根据等腰直角三角形的性质，AC=AE，即BC=AE．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，是综合题，但难度不大，只要仔细分析图形，并熟练掌握各定理与性质是解题的关键．