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    28、如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
    （1）求证：CE=CF；
    （2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
    （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：
    ①如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB的中点，且∠DCE=45°，求DE的长；
    ②如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3，则△ABC的面积为
    15
    （直接写出结果，不需要写出计算过程）．
    分析：（1）因为ABCD为正方形，所以CB=CD，∠B=∠CDA=90°，又因为DF=BE，则△BCE≌△DCF，即可求证CE=CF；
    （2）因为∠BCD=90°，∠GCE=45°，则有∠BCE+∠GCD=45°，又因为△BCE≌△DCF，所以∠ECG=∠FCG，CE=CF，CG=CG，则△ECG≌△FCG，故GE=BE+GD成立；
    （3）①过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长；
    ②由题中条件直接求得△ABC的面积．
    解答：证明：（1）在正方形ABCD中 CB=CD，∠B=∠CDA=90°，
    ∴∠CDF=∠B=90°．
    ∵DF=BE，
    ∴△BCE≌△DCF（SAS）．
    ∴CE=CF．

    （2）GE=BE+GD成立．
    ∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，
    ∴∠BCE+∠GCD=45°．
    ∵△BCE≌△DCF（已证），
    ∴∠BCE=∠DCF．
    ∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°．
    ∴∠ECG=∠FCG=45°．
    ∵CE=CF，CG=CG，
    ∴△ECG≌△FCG（SAS）．
    ∴GE=FG．
    ∵FG=GD+DF，
    ∴GE=BE+GD．

    （3）①过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，
    由（1）和题设知：DE=DG+BE，
    设DG=x，则AD=12-x，DE=x+6，
    在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2
    ∴62+（12-x）2=（x+6）2解得x=4．
    ∴DE=6+4=10；
    ②△ABC的面积为15．
    点评：此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的判定和全等三角形的判定结合求解的综合题．难度稍大，考查学生综合运用数学知识的能力．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    25、把正方形OFGE纸板按如图①方式放置在正方形纸板ABCD上，顶点G在对角线AC，并把正方形OFGE绕顶点A沿逆时针方向旋转，旋转角为а．
    （1）如图②，当а=90°时，请直接写出线段DE与BF的数量关系和位置关系；
    （2）如图③，当0°＜а＜90°时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明．若发生改变，请举例说明；
    （3）如图④，将图①、图③中的两个正方形都改为矩形，其他条件不变，设AB=kAD（k＞0），当0°＜а＜90°时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明．若发生改变，请写出改变后的新结论，并给出证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）填空：如图1，在正方形PQRS中，已知点M、N分别在边QR、RS上，且QM=RN，连接PN、SM相交于点O，则∠POM=
     
    度；
    （2）如图2，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，∠ABC=60度．以此为部分条件，精英家教网构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    26、如图1，在正方形ABCD中，若点E是△DBC内的一点，且DE=DC，BE=CE．
    （1）连接AE．说明△ABE≌△DCE的理由；
    （2）求∠BDE与∠CDE度数的比值；
    （3）拓展探索：若只将题中的条件“正方形ABCD”换成条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，2∠DBC=∠DCB”．如图2，研究∠BDE与∠CDE度数的比值是否与（2）中的结论相同，写出你的研究结果并说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F．
    （1）求证：EF+
    1
    2
    AC=AB；
    （2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，
    1
    2
    A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
    （3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    课本练习拓展：
    （1）如图1，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，△ABE经过旋转后得到△ADF，
    ①旋转中心是点
    A
    A
    ；旋转角度最少是
    90
    90
    度．
    ②爱动脑筋的小兵，在CD边上取点H使得∠HAE=45°，他发现：HE=BE+HD，他的发现正确吗？请你判断并说明理由．
    （2）思维闯关：
    如图2，在直角梯形ABCD中AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°BC=AB=6，E是 AB上一点，且∠DCE=45°，BE=2，则DE的长=
    5
    5
    ．（小兵运用解答（1）中所积累的经验和知识做出了该题）
    （3）动手闯过：
    ①小明有一块如图3所示的纸片，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．小明请小兵只剪一刀后把它拼成正方形，请你帮助小兵在图中画出剪拼得示意图．
    ②小兵好朋友小红现有两块同小明一样的纸片，如图4，小兵能否在每块上各剪一刀，然后拼成一个大的正方形？若能，请你画出剪法和拼法的示意图；若不能，简要说明理由．

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