Question

4．已知二次函数y=ax²+bx+c的顶点为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），且经过A（-2，0）
①求此二次函数的解析式，并直接写出抛物线与y轴交点C坐标；
②若点M在对称轴上，N在抛物线上，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，写出所有满足条件的M、N坐标；
③已知一条直线y=$\frac{3}{4}$x-3与x轴交于E，与y轴交于F，若在该直线有点P，抛物线上有点Q，点G在x轴上，是否存在这样的点Q，使得四边形EPQG为菱形？若存在，求出点Q坐标并写出计算过程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设二次函数的解析式为y=a（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$把A（-2，0）代入得a=1，即可解决问题．
（2）分两种情形讨论①当四边形MNCA是平行四边形时，作NF⊥对称轴于F．由△AOC≌△NFM，得到FN=MF=2，推出点N的横坐标为$\frac{3}{2}$，推出N（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{4}$），推出M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）．当四边形AM₁CN₁是平行四边形时，同法可求．
（3）如图2中，大概四边形EPQG为菱形时，连接EQ，延长EQ交y轴于D，作DM⊥EF于M．想办法求出点D的坐标，求出直线ED的解析式，利用方程组即可求出点Q坐标．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的顶点为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
∴可以假设二次函数的解析式为y=a（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$
把A（-2，0）代入得a=1，
∴二次函数的解析式为y=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，即y=x²+x-2，
令x=0得y=-2，
∴C（0，-2）．

（2）如图1中，

①当四边形MNCA是平行四边形时，作NF⊥对称轴于F．
由△AOC≌△NFM，得到FN=MF=2，
∴点N的横坐标为$\frac{3}{2}$，
∴N（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{4}$），
∴M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$），
②当四边形AM₁CN₁是平行四边形时，同法可得N（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$），M（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$）．

（3）如图2中，大概四边形EPQG为菱形时，连接EQ，延长EQ交y轴于D，作DM⊥EF于M．

∵四边形EPQG为菱形，
∴∠DEO=∠DEM，∵DO⊥EO，DM⊥EM，
∴DO=DM，∵ED=ED，
∴Rt△EDO≌Rt△EDM，
∴EO=EM，
∵E（4，0），F（0，-3），
∴OE=4，OF=3，EF=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴EO=EM=4，FM=1，设DO=DM=x，
在Rt△DMF中，∵DM²+FM²=DF²，
∴（3-x）²=x²+1²，
∴x=$\frac{4}{3}$，
∴D（0，-$\frac{4}{3}$），
∴直线DE的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+x-2}\\{y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{7}}{3}}\\{y=\frac{-13+\sqrt{7}}{9}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{7}}{3}}\\{y=\frac{-13-\sqrt{7}}{9}}\end{array}\right.$，
∵点Q在第四象限，
∴Q（$\frac{-1+\sqrt{7}}{3}$，$\frac{-13+\sqrt{7}}{9}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识，学会添加辅助线．构造全等三角形解决问题，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．