Question

如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线MN经过点O，设锐角∠DOC=∠，将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D’OC’，直线A D’、B C’相交于点P．
（Ⅰ）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想A D’、B C’的数量关系以及∠APB与∠α的大小关系；
（Ⅱ）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？
（Ⅲ）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，∠APB与∠α有怎样的数量关系？请证明．

Answer 1

（Ⅰ）A D’=B C’，∠APB=∠α．                     
（Ⅱ） A D’=B C’仍然成立，∠APB=∠α不一定成立． 
（Ⅲ）∠APB=180°-∠α．                    
证明：如图3，设OC’，PD’交于点E．
∵ 将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D’OC’，
∴ △DOC≌△D’OC’，
∴ OD=OD’， OC=OC’，∠DOC=∠D’OC’．
∵ 四边形ABCD是等腰梯形，
∴ AC=BD，AB="CD," ∠ABC= ∠DCB．
∵ BC=CB，
∴ △ABC≌△DCB．
∴ ∠DBC=∠ACB．
∴ OB=OC，OA=OD．
∵ ∠AOB= ∠COD=∠C’O D’，
∴ ∠BOC’ = ∠D’O A．
∵ OD’=OA，OC’=OB，
∴ △D’OC’≌△AOB，             
∴ ∠OD’C’= ∠OAB ．
∵ OD’=OA，OC’=OB，∠BOC’ = ∠D’O A，
∴ ∠OD’A = ∠OAD’=∠OBC’=∠OC’ B．
∵ ∠C’EP= ∠D’EO，
∴ ∠C’PE= ∠C’OD’=∠COD=∠α．
∵∠C’PE+∠APB=180°，
∴∠APB=180°-∠α．                          

（1）根据矩形的性质及角之间的关系证明△BOD′≌△AOC′，得出对应边对应角相等，推理即可得出结论；
（2）先进行假设，然后根据平行四边形的性质及相似三角形比例关系即可得出答案；
（3）易证△BOD′≌△C′OA，则AC′=BD′，∠OBD′=∠OC′A≠∠OAC′，从而得出∠AMB≠α．