Question

已知抛物线y=mx²-（m+5）x+5．
（1）求证：它的图象与x轴必有交点，且过x轴上一定点；
（2）这条抛物线与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，过（1）中定点的直线L；y=x+k交y轴于点D，且AB=4，圆心在直线L上的⊙M为A、B两点，求抛物线和直线的关系式，弦AB与弧围成的弓形面积．

Answer 1

（1）证明：∵y=mx²-（m+5）x+5，
∴△=[-（m+5）]²-4m×5=m²+10m+25-20m=（m-5）²；
不论m取任何实数，（m-5）²≥0，即△≥0，
故抛物线与x轴必有交点．
又∵x轴上点的纵坐标均为零，
∴令y=0，
代入y=mx²-（m+5）x+5，
得mx²-（m+5）x+5=0，（mx-5）（x-1）=0，
∴x=或x=1，
故抛物线必过x轴上定点（1，0）．

（2）解：如答图所示，
∵L：y=x+k，把（1，0）代入上式，
得0=1+k，
∴k=-1，
∴y=x-1；
又∵抛物线与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，AB=4，
∵x₁x₂＞0，
∴x₁=1，x₂=5，
∴A（1，0），B（5，0），
把B（5，0）代入y=mx²-（m+5）x+5，得0=25m-（m+5）×5+5，
∴m=1，
∴y=x²-6x+5；
∵M点既在直线L：y=x-1上，又在线段AB的垂直平分线上，
∴M点的横坐标x₁+=1+；
把x=3代入y=x-1，得y=2，
∴圆心M（3，2），
∴半径r=MA=MB=，
∴MA²=MB²=8，
又AB²=4²=16，
∴MA²+MB²=AB²
∴△ABM为直角三角形，且∠AMB=90°，
∴S_弓形ACB=S_扇形AMB-S_△ABM=．
分析：（1）若抛物线于x轴有交点，那么当y=0时，所得方程的根的判别式恒大于等于0，可据此进行证明；将抛物线解析式的右边，用十字相乘法进行因式分解，可得：y=（mx-5）（x-1），由此可看出抛物线一定经过点（1，0）．
（2）由于抛物线交x轴于A、B两点，且A在B左侧，且A、B都在原点的右侧，因此A（1，0），B（5，0），根据A点坐标，可确定直线的解析式，根据A、B的坐标，可确定抛物线的解析式；
若⊙M同时经过A、B两点，根据抛物线和圆的对称性知：点M必为抛物线对称轴与直线的交点，由此可求得点M的坐标为（3，2），而AB=4，因此△ABM是个等腰直角三角形，即可得到的圆心角，那么扇形MAB的面积减去等腰直角三角形MAB的面积即为所求弓形的面积．
点评：此题主要考查了二次函数与一元二次方程的联系、根的判别式、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、函数解析式的确定、扇形面积的计算方法等，涉及知识点较多，难度较大．