(1)证明:∵∠A=2∠B,∠A=60°
∴∠B=30°,∠C=90°
∴c=2b,a=
b
∴a
2=3b
2=b(b+c).
(2)解:关系式a
2=b(b+c)仍然成立.
证明:∵∠A=2∠B
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-3∠B
由正弦定理得
=
=
=2R,
即a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
∴b(b+c)=2RsinB(2RsinB+2RsinC),
=4R
2sinB[sinB+sin(180°-3∠B)]
=4R
2sinB(sinB+sin3∠B)
=4R
2sinB(2sin2BcosB)
=4R
2sin2B×sin2B
=4R
2sin
22B
又∵a
2=4R
2sin
2A=4R
2sin
22B
∴a
2=b(b+c)
(3)如图所示:
∵a
2=b(b+c),a=c,b=1,
∴a=
,
设AD=x,则BD=
-x,
则AC
2-AD
2=BC
2-BD
2,即1-x
2=(
)
2-(
-x)
2,
解得:x=
,BD=
-
,
故cos36°=
=
;
(4)由题意得,BD=
BC=5m,
则AB=
=
=5(
-1)≈6.2米.
分析:(1)根据已知可求得各角的度数,再根据三角函数求得各边的关系,从而不难得到结论.
(2)根据已知表示各角的度数,再根据正弦定理对式子进行整理,从而得到结论;
(3)画出图形,根据a
2=b(b+c),a=c,b=1,可求出a,继而可得出cos36°的值.
(4)先求出BD,再由cos36°的值可得出AB.
点评:本题考查了勾股定理、解直角三角形及正弦定理的内容,综合考察的知识点较多,难度较大,解答本题需要同学们能活学活用.