【题目】在第一象限内作射线OC,与x轴的夹角为60°,在射线OC上取一点A,过点A作AH⊥x轴于点H,在抛物线y=x2(x>0)上取一点P,在y轴上取一点Q,使得以P,O,Q为顶点的三角形与△AOH全等,则符合条件的点A的坐标是
【答案】( ,3)或( , )或( , )或(2,2 )
【解析】解:①如图1,当∠POQ=∠OAH=30°,若以P,O,Q为顶点的三角形与△AOH全等,那么A、P重合;
∵∠AOH=60°,
∴直线OA:y= x,
联立抛物线的解析式得: ,
解得: 或 ,
故A( ,3);
②当∠POQ=∠AOH=60°,此时△POQ≌△AOH,
易知∠POH=30°,则直线y= x,联立抛物线的解析式,
得: ,
解得: 或 ,
故P( , ),那么A( , );
③当∠OPQ=90°,∠POQ=∠AOH=60°时,此时△QOP≌△AOH;
易知∠POH=30°,则直线y= x,联立抛物线的解析式,
得: ,
解得: 或 ,
故P( , ),
∴OP= = ,QP= ,
∴OH=OP= ,AH=QP= ,
故A( , );
④当∠OPQ=90°,∠POQ=∠OAH=30°,此时△OQP≌△AOH;
此时直线y= x,联立抛物线的解析式,
得: ,
解得: 或 ,
∴P( ,3),
∴QP=2,OP=2 ,
∴OH=QP=2,AH=OP=2 ,
故A(2,2 ).
综上可知:符合条件的点A有四个,分别为:( ,3)或( , )或( , )或(2,2 ).
故答案为:( ,3)或( , )或( , )或(2,2 ).
由于两三角形的对应边不能确定,故应分四种情况进行讨论:
①∠POQ=∠OAH=30°,此时A、P重合,可联立直线OA和抛物线的解析式,即可得A点坐标,由三角形的面积公式即可得出结论;
②∠POQ=∠AOH=60°,此时∠POH=30°,即直线OP:y= x,联立抛物线的解析式可得P点坐标,进而可求出OQ、PQ的长,由于△POQ≌△AOH,那么OH=OQ、AH=PQ,由此得到点A的坐标,由三角形的面积公式即可得出结论;
③当∠OPQ=90°,∠POQ=∠AOH=60°时,此时△QOP≌△AOH,得到点A的坐标,由三角形的面积公式即可得出结论;
④当∠OPQ=90°,∠POQ=∠OAH=30°,此时△OQP≌△AOH,得到点A的坐标,由三角形的面积公式即可得出结论.
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【题目】如图,抛物线y=﹣ x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
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【题目】某电器商场销售A、B两种型号计算器,两种计算器的进货价格分别为每台30元、40元. 商场销售5台A型号和1台B型号计算器,可获利润76元;销售6台A型号和3台B型号计算器,可获利润120元.
(1)求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元?(利润=销售价格﹣进货价格)
(2)商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台,问最少需要购进A型号的计算器多少台?
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【题目】如图,△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为40、50、60,其三条角平分线交于点O,则S△ABO:S△BCO:S△CAO等于 ( )
A. 1:2:3 B. 2:3:4 C. 3:4:5 D. 4:5:6
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°,则∠BCE= 度;
(2)设∠BAC=α,∠BCE=β.
①如图2,当点D在线段BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?请说明理由;
②当点D在直线BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.
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