Question

【题目】如图，二次函数 的图象经过点A（4，0），B（﹣4，﹣4），且与y轴交于点C．

（1）试求此二次函数的解析式；
（2）试证明：∠BAO=∠CAO（其中O是原点）；
（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交此二次函数图象及x轴于Q、H两点，试问：是否存在这样的点P，使PH=2QH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点A（4，0）与B（﹣4，﹣4）在二次函数图象上，

∴

解得

∴二次函数解析式为y=﹣ x2+ x+2．

（2）解：过B作BD⊥x轴于点D，由（1）得C（0，2），

则在Rt△AOC中，tan∠CAO= = = ，

又在Rt△ABD中，tan∠BAD= = = ；

∵tan∠CAO=tan∠BAD，

∴∠CAO=∠BAO．

（3）解：由点A（4，0）与B（﹣4，﹣4），可得直线AB的解析式为y= x﹣2，

设P（x， x﹣2），（﹣4＜x＜4）；

则Q（x，﹣ x2+ x+2），

∴PH=| x﹣2|=2﹣ x，QH=|﹣ x2+ x+2|．

∴2﹣ x=2|﹣ x2+ x+2|．

当2﹣ x=﹣ x2+x+4，

解得x1=﹣1，x2=4（舍去），

∴P（﹣1，﹣ ）

当2﹣ x= x2﹣x﹣4，

解得x1=﹣3，x2=4（舍去），

∴P（﹣3，﹣ ）．

综上所述，存在满足条件的点，它们是P1（﹣1，﹣ ）与P2（﹣3，﹣ ）．

【解析】（1）利用待定系数法把AB坐标代入抛物线解析式即可；（2）求出这两个锐角的正切值，反过来由值相等可以推得角相等；（3）竖直线段的长可转化为y上-y下，HQ的长可分类讨论HQ=yH-yQ或HQ=yQ-yH，即可求出结果.