Question

如图AB为⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．
（1）求证：CD为⊙O切线；
（2）若sin∠BAD=

4

5

，⊙O直径为5，求DF的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，由于AD∥OC，OA=OD=OB，那么∠BOC=∠DAB=∠ADO=∠DOC，而OD=OB，OC=OC，利用SAS可证△ODC≌△OBC，又BC⊥AB，故∠B=90°，所以∠ODC=90°，即CD是⊙O的切线；
（2）在△ADG中SinA=

4

5

=

DG

AD

，可先设DG=4x，AD=5x，根据垂径定理可知AB⊥DF，即∠AGD=90°，再利用勾股定理可求AG=3x，那么OG=5-3x，在Rt△DGO中，利用勾股定理可得（

5

2

）²=（4x）²+（

5

2

-3x）²，解得x₁=

3

5

，x₂=0（舍去），那么DG=

12

5

，则DF=

24

5

．

解答：（1）证明：连接OD，
∵AD∥OC，
∴∠BOC=∠DAB，∠ADO=∠DOC，
又OA=OD，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠BOC=∠DAB=∠ADO=∠DOC，
在△ODC和△OBC中

OD=OB ∠DOC=∠BOC OC=OC

，
∴△ODC≌△OBC，（SAS）
又∵BC⊥AB，
∴∠B=90°．
∴∠ODC=∠B=90°，
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：在△ADG中，sinA=

4

5

=

DG

AD

，
设DG=4x，AD=5x，
∵DF⊥AB，∴G为DF的中点，
∴AG=3x，
又⊙O的半径为

5

2

，
∴OG=

5

2

-3x，
∵OD²=DG²+OG²，
∴（

5

2

）²=（4x）²+（

5

2

-3x）²，
∴x=

3

5

，
∴DG=4x=

12

5

，
∴DF=2DG=2×

12

5

=

24

5

．

点评：本题利用了等边对等角、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、切线的判定、三角函数值、解一元二次方程、勾股定理．