Question

【题目】认真阅读下面的材料，完成有关问题：

材料　在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5－3|表示5,3在数轴上对应的两点之间的距离；|5＋3|＝|5－(－3)|，所以|5＋3|表示5，－3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5－0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a－b|.

(1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数－5，－1, 3，那么A到B的距离是 ，A到C的距离是_____.(直接填最后结果)

(2)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，－2,1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 (用含绝对值的式子表示)．

(3)利用数轴探究：

①设|x－3|＋|x＋1|＝p，当x的值取在不小于－1 且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是_____；

②求|x|＋|x－2|的最小值以及此时x的取值范围？

Answer 1

【答案】(1)4,8; (2)|x+2|+|x-1|或|x-(-2)|+|x-1|;(3)①4；②当x的取值在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x-2|的最小值是2.

【解析】

（1）根据两点间距离公式代入相应的值即可得出答案；

（2）根据两点间距离公式分别求出A到B的距离和A到C的距离，两式相加即可得出答案；

（3）①根据“x的值取在不小于－1 且不大于3的范围”将绝对值化简再进行计算即可得出答案；②根据①中的探究可知，当x的取值在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x-2|有最小值，再根据x的取值范围化简绝对值，即可得出最小值.

解：（1）A到B的距离是：;

A到C的距离是：；

（2）A到B的距离是：;

A到C的距离是：

∴A到B的距离与A到C的距离之和可表示为：；

（3）①∵x的值取在不小于－1 且不大于3的范围

∴

又|x－3|＋|x＋1|＝p

∴p=4，这个最小值是4；

②∵当x的值取在不小于－1 且不大于3的范围时，|x－3|＋|x＋1|有最小值，最小值为4

∴当x的取值在不小于0且不大于2的范围时，|x|＋|x－2|有最小值，最小值为2.