Question

已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线交直线AD于点E，交直线BA于点F，当点P在线段BD上时，易证得：AC=PE+PF（如图①所示）．当点P在BD的延长线上（如图②所示）和当点P在线段DB的延长线上（如图③所示）两种情况时，探究线段AC、PE、PF之间的数量关系，并对图③的结论进行证明．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：在②中延长FE交BC的延长线于点G，可证得PF=PG，再证明四边形ACGE为平行四边形可得AC=EG，可得到AC=PF-PE；在③中延长CB交EF于点G，可证得PG=PF，可得到AC=PE-PF．

解答：解：当P在BD的延长线上时，如图②，延长FE交BC的延长线于点G，

∵AC∥FG，
∴

BO

BP

=

AO

PF

=

CO

PG

，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，
∴PF=PG，
∴EG=PG-PE=PF-PE，
又∵AB∥CG，AC∥EG，
∴四边形ACGE为平行四边形，
∴AC=EG，
∴AC=PF-PE；
当P在DB的延长线上时，如图③，延长CB交EF于点G，

∵AC∥EF，
∴

PG

OC

=

PF

OA

=

PB

BO

，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，
∴PG=PF，
∴EG=PE-PG=PE-PF，
又∵AC∥EG，AE∥CG，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴EG=AC，
∴AC=PE-PF．

点评：本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键，即①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分．