Question

已知二次函数y=x²-（2m+1）x+m²的图象与x轴交于点A（x_l，0）、B（x₂，0），其中x_l＜x₂，且

1

x1

+

1

x2

=

5

4

．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数y=x+n的图象过点B，求其解析式；
（3）在给出的坐标系中画出所求出的一次函数和二次函数的图象；
（4）对任意实数a、b，若a≥b，记max{a，b}=a，例如：max{1，2}=2，max{3，3}=3，请你观察第（3）题中的两个图象，如果对于任意一个实数x，它对应的一次函数的值为y₁，对应的二次函数的值为y₂，求出max{y₁，y₂}中的最小值及取得最小值时x的值．

Answer 1

分析：（1）由于A、B是抛物线与x轴的交点，根据韦达定理即可得到x₁+x₂及x₁x₂的值，将已知的代数式化为x₁+x₂、x₁x₂的形式，然后代值计算即可求得m的值，由此可确定抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，可求出A、B的坐标，将B点坐标代入所求直线的解析式中即可求得n的值，由此可确定该一次函数的解析式；
（4）由于max{a，b}=a中，总是取a、b中较大的值作为max{a，b}的值，那么当max{y₁，y₂}取最小值时，y₁、y₂对应的是直线与抛物线另一个交点的纵坐标，可联立两个函数的解析式，即可求得这个交点的坐标，那么交点的纵坐标即为max{y₁，y₂}的最小值，交点的横坐标即为此时x的值．

解答：解：（1）令y=0，得x²-（2m+1）x+m²=0；
因为抛物线与x轴交于不同两点，
所以△=[-（2m+1）]²-4m²＞0，
解得m＞-

1

4

；
又因为x₁+x₂=2m+1，x₁x₂=m²，
所以

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

5

4

，
即

2m+1

m2

=

5

4

，
解得m=2，或m=-

2

5

（因m＞-

1

4

，故舍去）；
所以二次函数的解析式为y=x²-5x+4；

（2）二次函数y=x²-5x+4中，令y=0，得x₁=1，x₂=4，
所以B（4，0）；
因为一次函数y=x+n的图象过点B（4，0），
所以0=4+n，
解得n=-4；
∴一次函数解析式为y=x-4；

（3）如图；

（4）解方程组

y=x-4 y=x2-5x+4

，得一次函数与二次函数图象的另一交点为C（2，-2）；
故对任意一个实数x，所求max{y₁，y₂}中的最小值为-2，此时x=2．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，一次函数、二次函数解析式的确定以及函数图象交点坐标的求法；在（4）题中，只有理解了max{a，b}的取值方法才能正确的求出答案．