Question

如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S．
（1）当α=30°时，求x的值．
（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S=

1

4

S△ABC时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的判定，∠A=∠α=30°，得出x=1；
（2）由直角三角形的性质，AB=2，AC=

3

，由旋转性质求得△ADC∽△BCE，根据比例关系式，求出S与x的函数关系式；
（3）当S=

1

4

S△ABC时，求得x的值，判断⊙E和DE的长度大小，确定⊙E与A′C的位置关系，再求tanα值．

解答：解：（1）∵∠A=a=30°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BCD=60°．
∴AD=BD=BC=1．
∴x=1；

（2）∵∠DBE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°．
∴AC=

3

BC=

3

，AB=2BC=2．
由旋转性质可知：AC=A′C，BC=B′C，
∠ACD=∠BCE，
∴△ADC∽△BEC，
∴

AD

BE

=

AC

BC

，
∴BE=

3

3

x．
∵BD=2-x，
∴s=

1

2

×

3

3

x（2-x）=-

3

6

x²+

3

3

x．（0＜x＜2）

（3）∵s=

1

4

s_△ABC
∴-

3

6

x2+

3

3

x=

3

8

，
∴4x²-8x+3=0，
∴x1=

1

2

，x2=

3

2

．
①当x=

1

2

时，BD=2-

1

2

=

3

2

，BE=

3

3

×

1

2

=

3

6

．
∴DE=

BD2+BE2

=

1

3

21

．
∵DE∥A′B′，
∴∠EDC=∠A′=∠A=30°．
∴EC=

1

2

DE=

1

6

21

＞BE，
∴此时⊙E与A′C相离．
过D作DF⊥AC于F，则DF=

1

2

x=

1

4

，AF=

3

DF=

3

4

．
∴CF=

3

-

3

4

=

3

4

3

．
∴tanα=

DF

CF

=

3

9

．                                       （12分）
②当x=

3

2

时，BD=2-

3

2

=

1

2

，BE=

3

2

．
∴DE=

BD2+BE2

=1，
∴EC=

1

2

DE=

1

2

＜BE，
∴此时⊙E与A'C相交．                                    
同理可求出tanα=

3 4

1 4 3

=

3

．

点评：本题考查的知识点：等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的判定以及直线与圆的位置关系的确定，是一道综合性较强的题目，难度大．