【题目】如图,点E是矩形ABCD边AB上一动点(不与点B重合),过点E作EF⊥DE交BC于点F,连接DF,已知AB=4cm,AD=2cm,设A,E两点间的距离为xcm,△DEF面积为ycm2.
小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)确定自变量x的取值范围是 ;
(2)通过取点、画图、测量、分析,得到了x与y的几组值,如表:
x/cm | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | … |
y/cm2 | 4.0 | 3.7 | 3.9 | 3.8 | 3.3 | 2.0 | … |
(说明:补全表格时相关数值保留一位小数)
(3)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(4)结合画出的函数图象,解决问题:当△DEF面积最大时,AE的长度为 cm.
【答案】(1)0≤x<4;(2)3.8,4.0;(3)见解析;(4)0,2.
【解析】
(1)利用点E在线段AB上,即可得出结论;
(2)先判断出△ADE∽△BEF,得出,进而表示出BF=,再取x=1和x=2求出y的即可;
(3)利用画函数图象的方法即可得出结论;
(4)由图象可知,即可得出结论.
(1)∵点E在AB上,
∴0≤x<4,
故答案为:0≤x<4;
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴BC=AD=2,CD=AB=4,∠A=∠B=90°,
∴∠ADE+∠AED=90°,
∵EF⊥DE,
∴∠AED+∠BEF=90°,
∴∠ADE=∠BEF,
∵∠A=∠B=90°,
∴△ADE∽△BEF,
∴,
∵AE=x,
∴BE=AB﹣AE=4﹣x,
∴,
∴BF=,
当x=1时,BF=,
∴CF=BC﹣BF=2﹣=,
y=S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF﹣S△CDF=8﹣×2×1﹣×3×﹣×4×=3.75≈3.8,
当x=2时,BF=2,
∴CF=BC﹣BF=0,此时,点F和点C重合,
y=S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF=8﹣×2×2﹣×2×2=4.0
故答案为:3.8,4.0
(3)描点,连线,画出如图所示的图象,
(4)由图象可知,当x=0或2时,△DEF面积最大,
即:当△DEF面积最大时,AE=0或2,
故答案为0,2.
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【题目】如图,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC相交于点G,连接CF.
(1)求证:△DAE≌△DCF;
(2)求证:△ABG∽△CFG;
(3)若正方形ABCD的的边长为2,G为BC的中点,求EF的长.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AD=1,AB=.将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转90°得到矩形.联结,分别交边CD,于E、F.如果AE=,那么= .
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【题目】如图,在矩形ABCD中,过BD的中点O做EF⊥BD,分别与AB、CD交于点E、F.连接DE、BF.
(1)求证:四边形BEDF是菱形;
(2)若M是AD中点,联结OM与DE交于点N,AD=OM=4,则ON的长是多少?
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【题目】已知:二次函数y=x2-4x+3.
(1)将y=x2-4x+3化成的形式;
(2)求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标;
(3)当x取何值时,y<0.
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【题目】某日6时至10时,某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系分别如图1、图2所示(图1、图2中的图象分别是线段和抛物线,其中点P是抛物线的顶点).在这段时间内,出售每千克这种水果收益最大的时刻是_____ ,此时每千克的收益是_________
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【题目】已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是 ;
(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是 .
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【题目】在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,E是射线DC上的点,连接AE,将△ADE沿直线AE翻折得△AFE.
(1)如图①,点F恰好在BC上,求证:△ABF∽△FCE;
(2)如图②,点F在矩形ABCD内,连接CF,若DE=1,求△EFC的面积;
(3)若以点E、F、C为顶点的三角形是直角三角形,则DE的长为 .
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【题目】如图中,,P是斜边AC上一个动点,以即为直径作交BC于点D,与AC的另一个交点E,连接DE.
(1)当时,
①若,求的度数;
②求证;
(2)当,时,
①是含存在点P,使得是等腰三角形,若存在求出所有符合条件的CP的长;
②以D为端点过P作射线DH,作点O关于DE的对称点Q恰好落在内,则CP的取值范围为________.(直接写出结果)
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