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【题目】如图,点E是矩形ABCDAB上一动点(不与点B重合),过点EEFDEBC于点F,连接DF,已知AB4cmAD2cm,设AE两点间的距离为xcmDEF面积为ycm2

小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小明的探究过程,请补充完整:

1)确定自变量x的取值范围是   

2)通过取点、画图、测量、分析,得到了xy的几组值,如表:

x/cm

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

y/cm2

4.0

3.7

3.9

3.8

3.3

2.0

(说明:补全表格时相关数值保留一位小数)

3)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;

4)结合画出的函数图象,解决问题:当DEF面积最大时,AE的长度为   cm

【答案】(1)0≤x<4;(2)3.8,4.0;(3)见解析;(4)0,2.

【解析】

1)利用点E在线段AB上,即可得出结论;
2)先判断出ADE∽△BEF,得出,进而表示出BF=,再取x=1x=2求出y的即可;
3)利用画函数图象的方法即可得出结论;
4)由图象可知,即可得出结论.

1)∵点EAB上,

0≤x4

故答案为:0≤x4

2)∵四边形ABCD是矩形,

BCAD2CDAB4,∠A=∠B90°

∴∠ADE+AED90°

EFDE

∴∠AED+BEF90°

∴∠ADE=∠BEF

∵∠A=∠B90°

∴△ADE∽△BEF

AEx

BEABAE4x

BF

x1时,BF

CFBCBF2

yS矩形ABCDSADESBEFSCDF8×2×1×3××4×3.75≈3.8

x2时,BF2

CFBCBF0,此时,点F和点C重合,

yS矩形ABCDSADESBEF8×2×2×2×24.0

故答案为:3.84.0

3)描点,连线,画出如图所示的图象,

4)由图象可知,当x02时,DEF面积最大,

即:当DEF面积最大时,AE02

故答案为02

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