Question

11．如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，点A在第二象限，点B在第一象限，过点A的反比例函数表达式为y=-$\frac{1}{x}$，则过点B的反比例函数表达式为y=$\frac{3}{x}$．

Answer 1

分析 解直角三角形求得$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，然后过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可证明△AOC∽△OBD，由点A在y=-$\frac{1}{x}$上，可求得△AOC的面积，由相似三角形的性质可求得△BOD的面积，可求得答案．

解答 解：∵Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴tan30°=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
如图，过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=∠DBO+∠BOD，
∴∠DBO=∠AOC，
∴△AOC∽△OBD，
∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△OBD}}$=（$\frac{AO}{BO}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{1}{3}$，
设A点坐标为（x_A，y_A），
∵点A在函数y=-$\frac{1}{x}$的图象上，
∴x_Ay_A=k=-1，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{1}{2}$，
∴S_△OBD=3S_△AOC=$\frac{3}{2}$，
设B点坐标为（x_B，y_B），
∴$\frac{1}{2}$x_By_B=$\frac{3}{2}$，
∴x_By_B=3，
∴过B点的反比例函数的解析式为y=$\frac{3}{x}$，
故答案为：y=$\frac{3}{x}$．

点评 本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，相似三角形的判定和性质，根据条件求得△OBD的面积是解题的关键．