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    如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3．M是边AB上的动点（M不与A，B重合），MN∥BC交AC于点N，△AMN关于MN的对称图形是△PMN．设AM=x．
    （1）用含x的式子表示△AMN的面积（不必写出过程）；
    （2）当x为何值时，点P恰好落在边BC上；
    （3）在动点M的运动过程中，记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，重叠部分的面积最大，最大面积是多少？
    （1）S△AMN=
    3
    8
    x2（3）；

    （2）如图2，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，（4分）
    又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，（5）
    ∴∠B=∠BPM∴AM=PM=BM（6分）
    ∴点M是AB中点，即当x=
    1
    2
    AB=2时，点P恰好落在边BC上．（7分）

    （3）（i）以下分两种情况讨论：
    ①当0＜x≤2时，易见y=
    3
    8
    x2（8分）
    ②当2＜x＜4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F
    由（2）知ME=MB=4-x，
    ∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4
    由题意知△PEF∽△ABC，
    ∴(
    PE
    AB
    )2=
    S△PEF
    S△ABC
    ，
    ∴S△PEF=
    3
    2
    (x-2)2
    ∴y=S△PMN-S△PEF=
    3
    8
    x2-
    3
    2
    (x-2)2=-
    9
    8
    x2+6x-6
    ∴y=
    3
    8
    x2(0＜x≤2)
    -
    9
    8
    x2+6x-6(2＜x＜4)

    （ii）∵当0＜x≤2时，y=
    3
    8
    x2
    ∴易知y最大=
    3
    8
    ×22=
    3
    2
    （11分）
    又∵当2＜x＜4时，y=-
    9
    8
    x2+6x-6=-
    9
    8
    （x-
    8
    3
    ）2+2．
    ∴当x=
    8
    3
    时（符合2＜x＜4），y最大=2，（12分）
    综上所述，当x=
    8
    3
    时，重叠部分的面积最大，其值为2．（13分）
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知：如图一次函数y=
    1
    2
    x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=
    1
    2
    x2+bx+c的图象与一次函数y=
    1
    2
    x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）．
    （1）求二次函数的解析式；
    （2）求四边形BDEC的面积S；
    （3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．
    （1）求该抛物线的解析式．
    （2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=90°．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．
    （3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，若不存在，说明理由；若存在，求出K点的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OMN的斜边ON在x轴上，顶点M的坐标为（3，3），MH为斜边上的高．抛物线C：y=-
    1
    4
    x2+nx    与直线y=
    1
    2
    x    及过N点垂直于x轴的直线交于点D．点P（m，0）是x轴上一动点，过点P作y轴的平行线，交射线OM于点E．设以M、E、H、N为顶点的四边形的面积为S．
    （1）直接写出点D的坐标及n的值；
    （2）判断抛物线C的顶点是否在直线OM上？并说明理由；
    （3）当m≠3时，求S与m的函数关系式；
    （4）如图2，设直线PE交射线OD于R，交抛物线C于点Q，以RQ为一边，在RQ的右侧作矩形RQFG，其中RG=
    3
    2
    ，直接写出矩形RQFG与等腰直角三角形OMN重叠部分为轴对称图形时m的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-2x2+bx+c的图象经过点A（-3，0）和点B（0，6）．
    （1）求此二次函数的解析式；
    （2）将这个二次函数的图象向右平移5个单位后的顶点设为C，直线BC与x轴相交于点D，求∠ABD的正弦值；
    （3）在第（2）小题的条件下，联结OC，试探究直线AB与OC的位置关系，并说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（0，2）、（0，-2），（4，-2）．
    （1）请在给出的直角坐标系xOy中画出△ABC，设AC交X轴于点D，连接BD，证明：OD平分∠ADB；
    （2）请在x轴上找出点E，使四边形AOCE为平行四边形，写出E点坐标，并证明四边形AOCE是平行四边形；
    （3）设经过点B，且以CE所在直线为对称轴的抛物线的顶点为F，求直线FA的解析式．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且m＜n．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；
    （3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，直线AB、CD分别经过点（0，1）和（0，2）且平行于x轴，图1中射线OA为正比例函数y=kx（k＞0）在第一象限的部分图象，射线OB与OA关于y轴对称；图2为二次函数y=ax2（a＞0）的图象．
    （1）如图l，求证：
    AB
    CD
    =
    1
    2
    ；
    （2）如图2，探索：
    AB
    CD
    的值．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知，如图，在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在直线解析式为y=-
    		3
    3
    x+1．
    （1）在x轴上存在这样的点M，使AMB为等腰三角形，求出所有符合要求的点M的坐标；
    （2）动点P从点C开始在线段CO上以每秒
    		3
    个单位长度的速度向点O移动，同时，动点Q从点O开始在线段OA上以每秒1个单位长度的速度向点A移动．设P、Q移动的时间为t秒．
    ①是否存在这样的时刻2，使△OPQ与△BCP相似，并说明理由；
    ②设△BPQ的面积为S，求S与t间的函数关系式，并求出t为何值时，S有最小值．

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