Question

如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线y=x²+bx+3与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，tan∠ABO=

1

3

，顶点为P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线向上或向下平移|k|个单位长度后经过点C（-5，6），试求k的值及平移后抛物线的最小值；
（3）设平移后的抛物线与y轴相交于D，顶点为Q，点M是平移的抛物线上的一个动点．请探究：当点M在何位置时，△MBD的面积是△MPQ面积的2倍求出此时点M的坐标．友情提示：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是x=-

b

2a

，顶点坐标是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．

Answer 1

（1）令x=0，则y=3．
∴B点坐标为（0，3），OB=3．
∵tan∠OAB=

OA

AB

=

OA

3

=

1

3

，
∴AO=1．
∴A点坐标为（-1，0）．
∴0=（-1）²+b（-1）+3．
求得b=4．
∴所求的抛物线解析式为y=x²+4x+3．

（2）设平移后抛物线的解析式为y=x²+4x+3+k．
∵它经过点（-5，6），
∴6=（-5）²+4（-5）+3+k．
∴k=-2．
∴平移后抛物线的解析式为y=x²+4x+3-2=x²+4x+1．
配方，得y=（x+2）²-3．
∵a=1＞0，
∴平移后的抛物线的最小值是-3．

（3）由（2）可知，BD=PQ=2，对称轴为x=-2．
又S_△MBD=2S_△MPQ，
∴BD边上的高是PQ边上的高的2倍．
设M点坐标为（m，n）．
①当M点的对称轴的左侧时，则有0-m=2（-2-m）．
∴m=-4．
∴n=（-4）²+4（-4）+1=1．
∴M（-4，1）．
②当M点在对称轴与y轴之间时，则有0-m=2[m-（-2）]．
∴m=-

4

3

．
∴n=（-

4

3

）²+4（-

4

3

）+1=-

23

9

．
∴M（-

4

3

，-

23

9

）．
③当M点在y轴的右侧时，则有m=2[（m-（-2）]．
∴m=-4＜0，不合题意，应舍去．
综合上述，得所求的M点的坐标是（-4，1）或（-

4

3

，-

23

9

）．