Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，动点M、N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，MN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当时间为t秒时，点P到BC的距离为$\frac{8t}{5}$cm．（用含有t的式子表示）．
（2）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出AB的长，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；
（2）分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；
（3）根据“S=S_△ABC-S_△BPH”列出S与t的关系式S=$\frac{4}{5}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{21}{5}$（0＜t＜2.5），则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=5cm，

过P作PH⊥BC于H，则∠PHB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BPH∽△BAC，
∴$\frac{PH}{AC}$=$\frac{BP}{BA}$
∴$\frac{PH}{4}$=$\frac{2t}{5}$，
解得：PH=$\frac{8t}{5}$（cm），
故答案为：$\frac{8t}{5}$；

（2）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时，$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AM}{AB}$，即$\frac{5-2t}{4}$=$\frac{4-t}{5}$，
解得t=$\frac{3}{2}$；
②当△APM∽△ABC时，$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{4-t}{4}$=$\frac{5-2t}{5}$，
解得t=0（不合题意，舍去）；
综上所述，当t=$\frac{3}{2}$秒时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；

（3）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：
假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
如图，∵由（1）知：PH=$\frac{8t}{5}$，
∴S=S_△ABC-S_△BPN，
=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×（3-t）•$\frac{8t}{5}$，
=$\frac{4}{5}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{21}{5}$（0＜t＜2.5）．
∵$\frac{4}{5}$＞0，
∴S有最小值．
当t=$\frac{3}{2}$时，S_最小值=$\frac{21}{5}$．
答：当t=$\frac{3}{2}$时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是$\frac{21}{5}$．

点评 本题综合考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．解答（1）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，利用相似三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边．