Question

如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC上任意一点．
（1）操作：按下列要求画出图形．
①过点D画线段AB的垂线，垂足为E；
②过点E画直线EF∥BC，交AD于点F．
（2）探究：∠DEF与∠C是否相等，若相等，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）①以点D为圆心，以任意长为半径画弧与AB相交于两点，再以这两点为圆心，以大于它们

1

2

长度为半径画弧，两弧相交于一点，连接点D与这一点并购延长与AB相交于一点，这点即为所求的点E；
②以E为顶点，作∠AEF=∠B，与AD相交于点F；
（2）先求出ED∥AC，再根据两直线平行，同位角相等求出∠1=∠C，再根据两直线平行，内错角相等求出∠1=∠DEF，然后求出∠DEF=∠C．

解答：解：（1）如图所示；

（2）∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BED=∠BAC=90°，
∴ED∥AC，
∴∠1=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠DEF，
∴∠DEF=∠C．

点评：本题考查了复杂作图，主要利用了过直线外一点作已知直线的垂线，作一个角等于已知角，都是基本作图，要熟练掌握，还考查了平行线的判定与性质．