如图1.点A的坐标为(0.4).正比例函数y=kx．探究1:当k=1时.则点A关于直线y=x对称的对称点坐标为 ,当k=3时.则点A关于直线y=3x对称的对称点坐标为 ,探究2:当k=2时.求点A关于直线y=2x对称的对称点坐标,应用:如图2.直线OB:y=mx.直线OC:y=1mx.如y轴上点A关于OB对称的对称点为D.关于OC对称的对称点为G.当m= 时.四边形AOGD为菱形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图1，点A的坐标为（0，4），正比例函数y=kx（k＞0）．
探究1：当k=1时，则点A关于直线y=x对称的对称点坐标为

；
当k=

时，则点A关于直线y=

x对称的对称点坐标为

；
探究2：当k=2时，求点A关于直线y=2x对称的对称点坐标；
应用：如图2，直线OB：y=mx，直线OC：y=

x，如y轴上点A关于OB对称的对称点为D，关于OC对称的对称点为G，当m=

时，四边形AOGD为菱形．

考点：一次函数综合题

专题：代数综合题,探究型

分析：点关于直线的对称点的坐标问题，一般先根据已知直线的斜率求得两对称点所在直线的斜率，写出两对称点所在的直线方程，联立两直线方程求得两对称点的中点坐标，利用中点坐标在已知直线上进行求解．
（1）关于y=x对称，根据规律即可得出．关于直线对称，先设出对称点坐标（x，y），再写出直线AF的直线方程，联立两直线方程求得中点坐标．进而求得F点坐标．
（2）方法同（1），因为要求求得m的值．所以坐标要带有m，求得的D点坐标代入到直线OC方程即可求得m的值．需注意直线OB与直线OC的斜率并未说明谁大谁小，所以要分情况讨论．

解答：解：（1）当k=1时，点A关于y=x的对称点为（4，0）比较简单，利用关于y=kx对称，横纵坐标交换位置即可．
当k=3时，设对称点F的坐标为（x，y），由于直线AF与直线y=

x垂直，
则直线AF的斜率为-

，直线AF的方程为：y-4=-

x．
与直线y=

x联立

y-4=-

．
解得线段AF的中点坐标为（

，3），
又因为点A（0，4），
则点F（2

，2）．

（2）由菱形的对角线互相平分且垂直可得：点D在直线OC上，此时OD与AG才能垂直．
由对称可知：直线AD的斜率为-

．直线AD的方程为y-4=-

x．
联立方程

y=mx

y-4=-

，
解得线段AD的中点坐标为（

m2+1

，

4m2

m2+1

），
又∵点A（0，4）
则点D的坐标（

8m2

m2+1

，

8m2

m2+1

+4），
将点D的坐标代入到直线OC方程，解得m=±

，
由图可知直线的斜率为正，得m=

．
同理，当直线OB的斜率小于直线OC的斜率时，联立方程

y-4=-mx

，
解得：m=

综上所得：m的值为

或

．

点评：考查了点关于直线的对称点的坐标问题，一般先根据已知直线的斜率求得两对称点所在直线的斜率，写出两对称点所在的直线方程，联立两直线方程求得两对称点的中点坐标，利用中点坐标在已知直线上进行求解．此类题求解思想比较简单，但是计算相对较繁琐．

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