Question

如图，⊙C经过坐标原点O，分别交x轴正半轴、y轴正半轴于点B、A，点B的坐标为（4，0），点M在⊙C上，并且∠BMO=120度．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是⊙C上的点，过点P作⊙C的切线PN，若∠NPB=30°，求点P的坐标；
（3）若点D是⊙C上任意一点，以B为圆心，BD为半径作⊙B，并且BD的长为正整数．
①问这样的圆有几个？它们与⊙C有怎样的位置关系？
②在这些圆中，是否存在与⊙C所交的弧（指⊙B上的一条弧）为90°的弧，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）连接AB，
∵四边形ABMO是圆内接四边形
∴∠BAO=180°-∠BMO=60°
∵OB=4
∴OA=4，即A点坐标为（O，4）
设直线AB的解析式是y=kx+b
把（0，4）和（4，0），代入，得：
4k+4=0，k=-
∴直线AB解析式为-+4；

（2）点P有两种情况：
第一种情况：作CH⊥OB，垂足为H，交弧OMB于P₁，P₁H=2，
点P₁坐标为（2，-2），
第二种情况：作直径OP₂，过点P₂作0C的切线P₂N₂，连接P₂B，
点P₂的坐标为（4，4），
∴点P的坐标为（2，-2）或（4，4）；

（3）①这样的圆有8个，它们与⊙C的位置关系是相交，内切；
②不存在；
过点C作0C直径D₁D₂，使D_lD₂⊥AB，
以点B为圆心，BD为半径作圆，
则0B上的劣弧D₁D₂的度数为90°，
连接BD₁、BD₂，则△BD₁D₂是等腰直角三角形，
BD₁=4，
不是正整数，∴不存在．
分析：（1）连接AB．根据圆内接四边形的性质发现60°的直角三角形，从而求得点A的坐标，根据待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）首先根据切线的性质和角的度数能够正确分析出点P的位置，从而求得点P的坐标；
（3）①根据两圆的位置关系与数量之间的联系进行分析；
②根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数，只需分析等腰直角三角形的边的长是否为整数．
点评：此题要综合运用圆内接四边形的性质和特殊直角三角形的性质；
考查了两圆的位置关系以及弧的度数等于它所对的圆心角的度数．