Question

【题目】一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们把这条对角线称为该四边形的为相似对角线。

(1)如图1，正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，AF=1，连结CE，CF，求证：EF为四边形AECF的相似对角线。

(2)在四边形ABCD中,∠BAD=120°,AB=3,AC=，AC平分∠BAD，且AC是四边形ABCD的相似对角线，求BD的长。

(3)如图2,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,点E是线段AB(不取端点A,B)上的一个动点,点F是射线AD上的一个动点,若EF是四边形AECF的相似对角线,求BE的长.(直接写出答案)

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）3或． （3）或3

【解析】

（1）如图1中，只要证明△AEF∽△ECF即可解决问题；
（2）如图2、图3中，AC是四边形ABCD的相似对角线，有两种情形：①如图2中，△ACB≌△ACD时．②如图3中，当△ACD∽△ABC时，分别求解即可；
（3）分三种情形①如图4中，当△AEF和△CEF关于EF对称时，EF是四边形AECF的相似对角线．②如图5中，如图取AD中点F，连接CF，将△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延长CD′交AB于E，易证EF是四边形AECF的相似对角线．③如图6中，取AB的中点E，连接CE，作EF⊥AD于F，延长CB交FE的延长线于M，则易证EF是四边形AECF的相似对角线．此时BE=3；

（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∵AE=DE=2，AF=1，
∴，
∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DCE，
∴∠AEF=∠DCE，，
∵∠DCE+∠CED=90°，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠FEC=∠A=90°，
∵，
∴，
∴△AEF∽△ECF，
∴EF为四边形AECF的相似对角线．
（2）如图2中，

∵AC是四边形ABCD的相似对角线，
∴有两种情形：
①如图2中，△ACB≌△ACD时，∵AB=AD=3，BC=CD，
∴AC垂直平分DB，
在Rt△AOB中，∵AB=3，∠ABO=30°，
∴BO=ABcos30°=，
∴BD=2OB=3．
②如图3中，当△ACD∽△ABC时，可得AC2=ABAD，
∴6=3AD，
∴AD=2，
在Rt△ADH中，∵∠HAD=60°，AD=2，
∴AH=AD=1，DH=AH=，
在Rt△BDH中，BD=．

综上所述，BD=3或．
（3）①如图4中，当△AEF和△CEF关于EF对称时，EF是四边形AECF的相似对角线，

设AE=EC=x，
在Rt△BCE中，∵EC2=BE2+BC2，
∴x2=（6-x）2+42，解得x=，
∴此时BE=AB-AE=6-．
②如图5中，如图取AD中点F，连接CF，将△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延长CD′交AB于E，易证EF是四边形AECF的相似对角线．

由△AEF∽△DFC得到，，
∴，
∴AE=，
∴BE=AB-AE=．
③如图6中，取AB的中点E，连接CE，作EF⊥EC交AD于F，延长CB交FE的延长线于M，则易证EF是四边形AECF的相似对角线．此时BE=3．

综上所述，满足条件的BE的值为或3．