【题目】如图所示,在坐标平面内,点O是坐标原点,A(0,6)、B(2,0),且∠OBA=60°,将△OAB沿直线AB翻折,得到△CAB,点O与点C对应。
(1)求点C的坐标;
(2)动点F从点O出发,以2个单位长度/秒的速度沿折线O—A—C向终点C运动,设△FOB的面积为S(S≠0),点F的运动时间为t秒,求S与t的关系式,并直接写出t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,过点B作x轴垂线,交AC于点E,在点F的运动过程中,当t为何值时,△BEF是以BE为腰的等腰三角形?
【答案】(1)C(3,3);(2)当0<t3时,S=
;当3<t6时,S=
(3) t=1或t=3时,△BEF是以BE为腰的等腰三角形.
【解析】
(1)连接OC,过C点作CH⊥x轴于H点,易证△OAC是等边三角形,则OC=OA,在直角△OCH中,求得CH和OH,则C的坐标即可求得;
(2)分成当0<t≤3和3<t≤6两种情况,利用三角形的面积公式即可求解;
(3)分B是顶角顶点和E是顶角顶点两种情况进行讨论.
(1)连接OC,过C点作CH⊥x轴于H点
∵折叠△OAB,
∴OA=AC,∠OBA=∠CBA=60°,OB=CB,∠CBH=60°
∴△OAC是等边三角形
∴∠BCH=30°
∴BH=BC=
×2
=
,OH=2
+
=3
,
∵OC=OA=6,∠COH=30°
∴CH=×6=3.
∴C(3,3);
(2)当0<t3时:
OF=2t,S=;
当3<t6时:点F在AC上,
过点F作FG⊥y轴于G,连结OF,BF,
由运动知,AF=2t6,
由折叠知,∠OAC=2∠OAB=60°
∴AG=t3,OG=6(t3)=9t,
S=OB×OG=
=9
-
t;
(3)如图
∵BE∥OA
∴∠ABE=∠OAB=30°
∴∠EBC=30°
∴CE=BE,BE=AE
∴BE=4.
当E是顶角顶点时,
∵∠ABE=30°,∠BAC=30°,则当F运动到A点时,△BEF为等腰三角形,即t=3;
当B是顶角顶点时,即BF=BE时,△BOF≌△BCE,
∴OF=CE=2
∴t=1.
此时,△BEF为等边三角形。
综上所述,t=1或t=3时,△BEF是以BE为腰的等腰三角形.
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【题目】甲,乙两家服装商店销售同一品牌的西装和领带,西装定价都是每套200元,领带定价都是每条40元.现两家商店都在促销:甲店:买一套西装送一条领带;乙店:西装和领带都按定价的90%付款.
学校合唱团要购买西装20套,领带条(
),由后勤谢老师负责购买,请为谢老师出谋划策:
(1)若只在一家商店购买,当时,谢老师选择哪家商店购买西装和领带更划算?
(2)若只在一家商店购买,请用含的代数式分别表示在两家商店的花费;
(3)当时,请设计最省钱的购买方案并求出最少的花费是多少.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴和y轴上,并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转,使点A恰好落在BC边上的A1处,则点C的对应点C1的坐标为( )
A. (﹣) B. (﹣
) C. (﹣
) D. (﹣
)
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【题目】如图:在△ABC中,∠ACB =90°,点D在边AB上,AD=AC,点E在BC边上,CE=BD,过点E作EF⊥CD交AB于点F,若AF=2,BC=8,则DF的长为_______
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,DE∥AB分别交BC、AC于点D、E,过点E做EF⊥DE,交线段BC的延长线于点F。
(1)求证:CE=CF;
(2)若BD=CE,AB=8,求线段DF的长。
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【题目】对于每个正整数,设
表示
的末位数字.例如:
(
的末位数字),
(
的末位数字),
(
的末位数字),…则
的值为( )
A.4040B.4038C.0D.4042
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【题目】如图,正方形ABCD内部有若干个点,用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠):
(1)填写下表:
正方形ABCD内点的个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | n |
分割成的三角形的个数 | 4 | 6 |
|
| … |
|
(2)原正方形能否被分割成2019个三角形?若能,求此时正方形ABCD内部有多少个点?若不能,请说明理由.
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【题目】随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷,要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
(1)这次活动共调查了 人;在扇形统计图中,表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ;
(2)将条形统计图补充完整.观察此图,支付方式的“众数”是“ ”;
(3)在一次购物中,小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付,请用画树状图或列表格的方法,求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
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【题目】设中学生体质健康综合评定成绩为x分,满分为100分.规定:85≤x≤100为A级,75≤x<85为B级,60≤x<75为C级,x<60为D级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩,整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中的信息,解答下列问题:
(1)在这次调查中,一共抽取了________名学生,a=________%;
(2)补全条形统计图;
(3)扇形统计图中C级对应的圆心角为________度;
(4)若该校共有2 000名学生,请你估计该校D级学生有多少名?
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