Question

（1）若一个凸多边形的内角和是2340°，求这个多边形的边数；
（2）一个凸多边形去掉一个内角后，其余所有内角的和为2008°，求这个多边形的边数和去掉的那个内角的度数．

Answer 1

分析：（1）n边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
（2）n边形的内角和是（n-2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数，而多边形的内角一定大于0，并且小于180度．因而内角和去掉一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数n-2要大，大的值小于1．则用内角和于内角的和除以180所得值，加上2，比这个数大的最小的整数就是多边形的边数．

解答：解：（1）设这个多边形的边数是n．
由题意得：（n-2）×180°=2340°，
解得n=15．
所以这个多边形的边数是15．

（2）设这个多边形的边数是m，去掉的那个内角为α．
则（m-2）×180°=2008°+α，
由于0°＜α＜180°，
所以0°＜（m-2）×180°-2008°＜180°，
整理得2008＜（m-2）×180＜2008+180，
即

2008

180

＜n-2＜

2008

180

+1，11

7

45

＜m-2＜12

7

45

．
因为m是正整数，所以m-2=12，m=14，所以这个多边形的边数为14，
去掉的那个内角为α=（14-2）×180°-2008°=152°．

点评：本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．