【题目】在△ABC中,AB=AC,⊙O经过点A、C且与边AB、BC分别交于点D、E,点F是上一点,
,连接CF、AF、AE.
(1)求证:△ACF≌△BAE;
(2)若AC为⊙O的直径,请填空:
①连接OE、DE,当△ABC的形状为 时,四边形OADE为菱形;
②当△ABC的形状为 时,四边形AECF为正方形.
【答案】(1)详见解析;(2)①等边三角形;②当△ABC是等腰直角三角形时,四边形AECF为正方形.
【解析】
(1)由圆的内接四边形性质可得,由“
”可证
;
(2)① 四边形OADE为菱形,可得,可得
都是等边三角形,可求
,可得
即可求解;② 四边形AECF为正方形,
,可证
,可得
,可得
即可求解.
证明:(1)∵四边形AECF是圆内接四边形
(2)①如图:
若四边形OADE为菱形;
都是等边三角形
∴△ABC是等边三角形,
∴当△ABC是等边三角形时,四边形OADE为菱形;
故答案为:等边三角形
②若四边形AECF为正方形,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴当△ABC是等腰直角三角形时,四边形AECF为正方形,
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2
x﹣
与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D,对称轴与x轴交于点E,直线CE交抛物线于点F(异于点C),直线CD交x轴交于点G.
(1)如图1,求直线CE的解析式和顶点D的坐标;
(2)如图1,点P为直线CF上方抛物线上一点,连接PC、PF,当△PCF的面积最大时,点M是过P垂直于x轴的直线l上一点,点N是抛物线对称轴上一点,求FM+MN+NO的最小值;
(3)如图2,过点D作DI⊥DG交x轴于点I,将△GDI沿射线GB方向平移至△G′D′I′处,将△G′D′I′绕点D′逆时针旋转α(0<α<180°),当旋转到一定度数时,点G′会与点I重合,记旋转过程中的△G′D′I′为△G″D′I″,若在整个旋转过程中,直线G″I″分别交x轴和直线GD′于点K、L两点,是否存在这样的K、L,使△GKL为以∠LGK为底角的等腰三角形?若存在,求此时GL的长.
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【题目】ABCD中,E是CD边上一点,
(1)将△ADE绕点A按顺时针方向旋转,使AD、AB重合,得到△ABF,如图1所示.观察可知:与DE相等的线段是 ,∠AFB=∠
(2)如图2,正方形ABCD中,P、Q分别是BC、CD边上的点,且∠PAQ=45°,试通过旋转的方式说明:DQ+BP=PQ;
(3)在(2)题中,连接BD分别交AP、AQ于M、N,你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2吗?
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【题目】如图1,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C.若tan∠ABC=3,一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2.
(1)求二次函数的解析式;
(2)直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止,l与线段BC交于点D,P是AD的中点.
①求点P的运动路程;
②如图2,过点D作DE垂直x轴于点E,作DF⊥AC所在直线于点F,连结PE、PF,在l运动过程中,∠EPF的大小是否改变?请说明理由;
(3)在(2)的条件下,连结EF,求△PEF周长的最小值.
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【题目】如图,四边形ABCD的顶点在⊙O上,BD是⊙O的直径,延长CD、BA交于点E,连接AC、BD交于点F,作AH⊥CE,垂足为点H,已知∠ADE=∠ACB.
(1)求证:AH是⊙O的切线;
(2)若OB=4,AC=6,求sin∠ACB的值;
(3)若,求证:CD=DH.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C.点D是直线BC上方抛物线上一动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,连接BD、CD,设点D的横坐标为m,△BCD的面积为s.试求出s与m的函数关系式,并求出s的最大值;
(3)如图2,设AB的中点为E,作DF⊥BC,垂足为F,连接CD、CE,是否存在点D,使得以C、D,F三点为顶点的三角形与△CEO相似?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡,在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°(图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内,CM∥AN).
(1)求灯杆CD的高度;
(2)求AB的长度(结果精确到0.1米).(参考数据:=1.73.sin37°≈060,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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【题目】如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB于点O,点D、E分别在边AC、BC上,且AD=CE,连结DE交CO于点P,给出以下结论:
①△DOE是等腰直角三角形;②∠CDE=∠COE;③若AC=1,则四边形CEOD的面积为;④
,其中所有正确结论的序号是 .
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【题目】学校组织“校园诗词大会”,全校学生参加初赛,为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了部分学生的成绩(满分100分),整理得到如下不完整的统计图表:
组别 | 成绩x分 | 频数(人数) | 频率 |
第1组 | 50≤x<60 | 6 | 0.12 |
第2组 | 60≤x<70 | 0.16 | |
第3组 | 70≤x<80 | 14 | a |
第4组 | 80≤x<90 | b | |
第5组 | 90≤x<100 | 10 |
请根据图表中所提供的信息回答下列问题:
(1)统计表中a= ,b= ;
(2)请将统计图表补充完整;
(3)根据调查结果,请估计该校1200名学生中,成绩不低于80分的人数.
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