Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（

2

，a）（a＞0），半径为

2

，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2．
（1）试判断y轴与圆的位置关系，并说明理由．
（2）求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据d和r的大小关系即可判断y轴与圆的位置关系；
（2）过P点作PE⊥AB于E，连接PA并延长PA交x轴于点C．分别求出PA、AC，相加即可．

解答：解：（1）答：y轴与⊙P相切，
∵点P的坐标为(

2

，a)．
∴点P到y轴的距离为

2

，
∵⊙P的半径为

2

，
∴点P到y轴的距离=⊙P的半径，
∴y轴与⊙P相切；

（2）过点P作PE⊥AB于点E，
连接PA并延长PA交x轴于点C，
∵PE⊥AB，AB=2∴AE=

1

2

AB=1，
∵PA=

2

，
在Rt△PAE中，由勾股定理得：PE=1，
∴PE=AE，∴∠PAE=45°，
∵函数y=x的图象与y轴的夹角为45°，
∴y轴∥PA，∴∠PCO=90°，
∴A点的横坐标为

2

，
∵A点在直线y=x上，∴A点的纵坐标为

2

，
∴PC=2

2

，
∴a=2

2

．

点评：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．